建模思想在概率论教学中的应用意义研究

总结：

（一）概率的计算

计算概率的常用方法有古典概型、几何概型、条件概率、全概率公式、贝叶斯公式等。在日常生活中，生日相同问题、配对问题、掷骰子概率计算、抽签等问题均可用上述相应的方法进行计算。

（二）描述随机现象

在描述随机现象时，我们常采用的方法是用随机变量进行表达，便于用概率方法解决随机问题。许多随机分布都可以用随机变量来进行描述，比如二项分布、泊松分布、正态分布等。在计算随机问题的平均值及波动程度时，常采用随机变量的数学期望与方差进行表示。相关的应用实例有很多，比如突发事件概率的计算、选择题的给分标准、随机存储问题、正态分布问题等。

（三）不确定性问题

在问题比较复杂时，我们常采用多维随机变量来解决不确定性问题，根据多维随机变量的分布与数字特征对问题进行优化处理。主要的应用实例有配对问题、组合证券投资问题等。

四、基于数学建模思想的概率论教学案例

（一）概率加法公式及事件的独立性

生活中我们常听到谚语或俗语，其中很多能揭示数学思想。在概率论教学中，适当引入与概率有关的谚语可以充分调动学生的积极性，激发学生的思考，提升学生的参与度，培养学生用理论知识解决实际问题的能力。

例如，我们常听到“三个臭皮匠，顶一个诸葛亮”这句谚语。之所以说是“臭皮匠”，是因为其解决问题的能力很一般，用概率的原理来解释，就是他们每个人独立解决好问题的概率比较低。但是，三个“臭皮匠”一起解决问题，我们可以看成是独立事件的和事件，那么这个和事件的概率会增大还是减小呢？与“诸葛亮”相比又如何？

这里我们可以建立如下概率模型：设Ai为事件“臭皮匠i独立解决某问题”，i的取值为1，2，3;设事件B为“诸葛亮解决某问题”。根据谚语的意思，我们假设他们解决问题的概率分别为：

P（A1）=0.50

P（A2）=0.56

P（A3）=0.60

P（B）=0.90

假设他们相互独立地解决问题，那么三个臭皮匠解决问题的概率为：

P（A1∪A2∪A3）=1-P（）=1-P（）P（）P（）=1-0.50×0.54×0.40=0.892

由以上分析可知，三个解决问题能力并不突出的“臭皮匠”集中力量，解决问题的能力竟然与“诸葛亮”不相上下。如果有四个、五个甚至更多“臭皮匠”集中力量，“诸葛亮”们也难望其项背。

（二）泊松分布

在现实生活中，商场商品的销售量往往服从泊松分布，根据这一统计规律去进货才能保证不脱销。为科学管理，现有一家商场根据过去的销售记录发现，某商品的月销售量可以用参数λ=5的泊松分布，為了有95%以上的可能保证该商品不脱销，那么商场至少应该进多少的货？

假设该商品的月销售量为x，那么x～P（5），其分布律为P（x=k）=，k=0，1，2……为满足有95%以上的可能保证该商品不脱销，这种商品月初的库存m应使得P（x≤m）=0.95，进一步转化表达式可得

P（x>m）==0.01

查泊松分布表可得m=9，因此该商场要保证月初该商品的库存至少有9件。

与这个现实案例相类似，在车辆设计行业常根据人身高的正态分布性来设计车门的高度;商场为获取最大化的利益，常选择用数学期望等数理统计原理来确定进货量;风投行业在进行投资决策时经常会用期望、方差等统计结果进行最优的投资组合等。学习理论知识的最终目的就是为了解决现实问题，在概率论的教学过程中，教师要培养学生将所学到的数理统计知识应用于生活实际问题，而一个最为直接的途径就是在教学环节设置学生熟悉的问题情境，通过建立数学模型解决现实问题，让学生体会到数学工具的作用，既提高了学生的学习热情，又能让学生养成运用数学建模思想解决生活问题的习惯。

（三）多维随机变量

在多维随机变量问题中，“找庄家”是一个经典问题，下面设置如下情景，通过建立数学模型来解决这一生活问题：

麻将是我国许多地区的一种娱乐活动，需要从四个人中找出一位充当庄家。大多数玩家会选择投骰子来选择庄家。比如，随便一位玩家投掷两枚材质相同的骰子，若两枚骰子的点数之和为5点或9点，那么其本人为庄家;若两枚骰子的点数之和为2、6或10，那么其下家为庄家;若骰子点数之和为4、8或12，则其上家为庄家;若骰子点数之和为3、7或11，则其对家为庄家。教师可以在此问题情境下引导学生建立二维随机变量模型，通过联合分布及随机变量函数的概率分布来判断这种方法是否公平。

分别以x、y表示第一枚骰子和第二枚骰子，易知两者相互独立，（x，y）联合分布为：

记z=x+y，那么z的概率分布为：

综合上述分析，4人做庄的概率分别为：

P（Z=5）+P（Z=9）=2/9

P（Z=2）+P（Z=6）+P（Z=10）=1/4

P（Z=3）+P（Z=7）+P（Z=11）=5/18

P（Z=4）+P（Z=8）+P（Z=12）=1/4

通过上述分析可知，这样的找庄家方法并不公平。在此基础上，教师可以提出这样一个问题：怎样定骰子点数能够使得结果比较公平。经过思考不难得出结论：这4个人的点数之和分别为2，4，6点;8，9点;3，5，10点;7，11，12点时，每一个人做庄的可能性都是相等的，均为1/4。当然，要实现公平分配还有别的方法。通过这样一个案例，教师要引导学生在日常生活及学习过程中养成认真思考的习惯，学会用数学建模的思想方法解决概率问题。

五、结语

在师范院校的概率论教学中，将数学建模思想与课程教学相结合激发学生的创造性思维，同时也能强化学生对理论内容的运用能力。就课程教学而言，这一教学方式能够增加课堂教学的趣味性，也提高了学生学习的积极性。当然，在概率统计中融入建模思想的过程是漫长的，不能一蹴而就，需要一定量的课时去累积。课堂教学能够激发学生学习的积极性，能够引导学生借助数学知识去解决实际问题，但学生也要养成应用数学知识去分析问题、解决问题的习惯。

参考文献：

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