【2019-2020学年市五校高二上学期第二次联考数学（文）试题—附答案】

2019-2020学年市五校高二上学期第二次联考数学试卷（文 ） 第I卷（选择题) 一、单选题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.只有一个选项是符合题目要求的) 1．已知命题p为假命题，命题q为真命题．在命题①p∧q；
②p∨q；
③p∧(q)；
④(p)∨q中，假命题是( ) A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 2．设分别是中所对边的边长，则直线的位置关系是( ) A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直 3．下列命题中错误的个数是（ ） ①“”是“”的必要不充分条件. ②命题“若，则或”的否命题是“若，则或”. ③当时，命题“若，则”的逆否命题为真命题. ④命题“，”的否定是“，”. A．1 B．2 C．3 D．4 4．（ ） A． B． C． D． 5. 已知直线在轴、轴上的截距相等，则直线与直线间的距离为（ 　） A． B． C．或 D．0或 6．已知双曲线与直线交于两点，过原点与线段中点所在直线的斜率为，则的值是(　　) A． B． C． D． 7．如图所示为底面积为的某三棱锥的三视图，则该三棱锥的侧面积为（ ） A． B． C． D． 8．已知命题，命题，若的充分不必要条件是非，则实数的取值范围是（ ） 9．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题，大概意思如下：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为2尺8寸，盆底直径为l尺2寸，盆深1尺 8寸.若盆中积水深9寸，则平均降雨量是（注：①平均降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；
②1尺等于10寸）（ ） A．3寸 B．4寸 C．5寸 D．6寸 10．从双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若为线段的中点，为坐标原点，则与的关系为( ) A．| B． C． D．与无关 11．在中，分别为三边中点，将分别沿向上折起，使重合，记为，则三棱锥的外接球表面积的最小值为( ) A． B． C． D． 12．已知直线与椭圆交于、两点，与圆交于、两点．若存在，使得，则椭圆的离心率的取值范围是( ) A． B． C． D． 第II卷（非选择题) 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13．已知函数可导且，则 ____________. 14. 在三棱锥中，，若过的平面将三棱锥分为体积相等的两部分，则棱与平面所成角的余弦值为____________. 15．过抛物线的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，若，O为坐标原点，则____________. 16．已知椭圆C: 的左右焦点分别为，,点P在椭圆C上，线段 与圆：相切于点G，若G是线段的中点，为椭圆C的离心率，则的最小值是_____________. 三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算过程) 17．（本小题共10分） 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程；

（2）求过点且与曲线相切的直线方程． 18．（本小题共12分） 定义:圆心到直线的距离与圆的半径之比称为“直线关于圆的距离比”. (1)设圆求过点P的直线关于圆的距离比的直线方程；

(2)若圆与轴相切于点A且直线关于圆C的距离比求出圆C的方程. 19．（本小题共12分） 在如图所示的四棱锥中，四边形为菱形，且，，M为中点． （1）求证：平面平面；

（2）求点M到平面的距离． 20．（本小题共12分） 在多面体中, 平面,,四边形是边长为的菱形. （1）证明: ；

（2）线段上是否存在点,使平面,若存在,求的值；
若不存在,请说明理由. 21.（本小题共12分）已知两动圆和（），把它们的公共点的轨迹记为曲线，若曲线与轴的正半轴的交点为，且曲线上的相异两点满足：. （1）求曲线的轨迹方程；

（2）证明直线恒经过一定点，并求此定点的坐标；

22．（本小题共12分） 已知抛物线的焦点为，为上位于第一象限的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点． （1）若点的横坐标为，且与双曲线的实轴长相等，求抛物线的方程；

（2）对于(1)中求出的抛物线，若点，记点关于轴的对称点为，交 轴于点，且， ①求证：点的坐标为；

②求点到直线的距离的取值范围. 文科数学 参考答案 1．A 2．C 3．B 4．A 5．A 6．D 7．B 8．B 9．A 10．C. 11．B 12．C 13． 1 14. 15． 16． 17.解：（1）由，， 则曲线在点处的切线方程为．.......................5分 （2）设切点的坐标为， 则所求切线方程为 代入点的坐标得， 解得或 ．.......................8分 当时，所求直线方程为,当时，所求直线方程为 所以过点且与曲线相切的直线方程为或． ....................10分 18. （1）设过点的直线方程为， 由圆的圆心为，半径为， 由题意可得，解得， 所以所求直线的方程为．．.......................6分 （2）设圆的方程为， 由题意可得……①，，……②，……③ 由①②③联立方程组，可得或， 所以圆C的方程为或．．..................12分 19. 解：（1）证明：∵四边形为菱形，且， ∴是等边三角形，又M是的中点， ∴，又， ∴， 又， ∴平面，又平面， ∴平面平面．．.......................5分 （2）取的中点H，连接， ∵， ∴，且， 由（1）可知平面平面，平面平面， ∴平面，故， ∴，又， ∴，．.......................8分 设M到平面的距离为h，则． 又， ∴，解得． ∴点M到平面的距离为．．.......................12分 20.解：(1)证明:连接,由平面,得平面, 又平面所以, 由四边形是菱形,得, 又,平面所以平面， 因为平面,所以.．.......................5分 (2)解:存在这样的点，且.证明如下: 连接交于,过作交于,连接. 因为,且，所以. 因为所以,即. 因为平面,,所以,所以. 因为,,所以. 于是且,所以四边形为平行四边形， 于是,即， 又平面,平面,所以平面...................12分 21. （1）设两动圆的公共点为，则有：． 由椭圆的定义可知的轨迹为椭圆，，， 所以曲线的方程是：；
................ 4分 （2）由题意可知：，设，， 当的斜率存在时，设直线，联立方程组：
，把②代入①有：， ③，④，..................7分 因为，所以有， ，把③④代入整理：
，（有公因式）继续化简得：
，或（舍）， 当的斜率不存在时，易知满足条件的直线为：...............11分 过定点，综上，直线恒过定点；
...................12分 22解：（1）由题意，知， ∵与双曲线的实轴长相等， ∴，解得， ∴抛物线的方程为．...................3分 （2）①设直线的方程为：，，，则 由得：
设，则， 三点共线即 即 得证. ..................7分 ②为等腰直角三角形 即 ，可得：
，又 令，，则 在上单调递减 ...................12分