【【全国百强校】浙江省杭州学军中学高三数学复习：排列与组合】

一堂排列与组合复习课 排列与组合应用题是高中数学的难点，许多同学感到方法灵活，对于问题给出的解法能看懂，但自己解决往往得不到正确的结果，并且不知道错在哪里，由此产生对排列组合应用题的畏惧心理。笔者在长期的教学实践中体会到，在高三复习课教学中，先把学生的想法充分地暴露出来，再引导学生从困惑中走出来，能有效提高学生解决排列组合应用题的能力。下面是一堂课的教学实录。[来源:Z§xx§k.Com][来源:学科网] 1 呈现问题，暴露错误 范例 8个人排成一队，三人互不相邻，两人也互不相邻的排法共有多少种？ 教师：本题有两个限制条件：一是三人互不相邻；
二是两人也互不相邻。如果暂时去掉一个限制条件，我们会做吗？（很多学生点头表示会做）请同学们认真思考后，谈出你的做法。

（留出一定时间让学生思考和互相交流，以分别形成明确的思路。） 生1：我的做法是这样的，把没有特殊要求的三人记为。分三步完成：第一步，将全排列，有种排法；
第二步，在站位的间隔和两端处插入三人，有种方法；
第三步，在，站位的间隔和两端处插入两人，有种方法。据分步计数原理，所求的排法种数为=6048。[来源:学科网ZXXK] 生2：我的做法与他（生1）的差不多，第一步完全一样，有种排法；
第二步，排，有种排法；
第三步，排，有种排法。据分步计数原理，所求的排法种数为=8640。我感到很困惑，结果怎么会与他（生1）不一样，难道我俩都错了？ 2 发现错因 变误为正 教师：生2感到很困惑，大家是否也有同感（不少学生点头认可）。好，现在请同学们探讨一下生1的做法对不对？ （约2分钟后，一学生发言了。） 生3：生1的做法是错的，错就错在第二步，他在第二步就把隔开（即两两不相邻）了，其实第二步排时可以恰有两个相邻，也可以三人连在一起，所以生1做出的结果比正确结果少了。

教师（生3的观点得到了全班同学的认同后）：下面请同学们一起来修正生1的解法。

（此时有几个同学争着要发言） 生4：所有的排法可分为如下3类：第1类，在未排时互不相邻，有种排法；
第2类，在未排时中恰有两个相邻，有种排法；
[来源:学|科|网] 第3类，在未排时三人连排在一起，有种排法。据分类计数原理，所求的排法种数为++=11520。

教师（面向生4）：请你说说，第2类、第3类是如何分步的？ 生4：（已表示在各个括号中，此处略去解释） 教师：很好！生4的做法完全正确。生4考虑问题既全面（合理分类）又细致（合理分步），值得大家学习。这里生1的错误得到了修正，下面请同学们修正生2 的错误。

（片刻后，不少学生举手了） 生5：所有的排法分为如下2类：第1类，在未排时互不相邻，有种排法；
第2类，在未排时相邻，有种。据分类计数原理，所求的排法种数为+=11520。结果，与生4所得的一样了。

教师：现在我们比较一下这两种做法，哪一种较简便？由于的位置关系只有两种，故后一种较为简便。那么，还有没有其他方法呢？ 3 继续探索 优化思维 生2：先放弃两人互不相邻这一限制条件，三人互不相邻的排法有种，去掉其中两人相邻的排法有种，故共有=11520种。

教师：想得非常好！看来用排除法比用直接法方便。因为排除法简便在反面情况的排法容易求出。

生6：我也用排除法，先放弃两个限制条件，所有的排法有种，去掉三人排 在一起或二人排在一起的排法，故共有=27360种，不是正确结果，我不知道错在哪里？[来源:学科网ZXXK] 教师：生6似乎很有道理，到底错在哪里呢？又这种方法是否可取？ （终于，有学生又开腔了。教师悬着的心可落地了） 生2：生6的错误在于，三人互不相邻的反面不是三人全排在一起，三人全排在一起只是它的反面的一种情况；
还有一种情况是三人恰有两人相邻。放弃两个限制条件，导致很难求出不满足限制条件的排法种数，所以这种思路不可取！ （在多数学生表示认同生2的说法后） 教师：排除法是解决有两个限制条件的排列问题的常用方法，通常的做法是先放弃一个限制条件，求出排法的种数；
再剔除不满足该限制条件的排法个数。至于放弃哪一个限制条件也是值得考虑的，如本题，若先放弃三人互不相邻这一限制条件，则较难剔除不满足该限制条件的排法个数。

4 因势利导 自编问题 教师：我们能不能在原问题的基础上编制一个问题，答案是，让生6的错误也有价值？ 生7 8人排成一队，三人不全排在一起，二人也不排在一起的排法有多少种？ 教师：这一次，三人不全排在一起，就是三人被隔开排列了；
或是三人中恰有两人连排在一起，它的反面才是三人连排在一起。

小结：这节课，我们借助于一道有两个限制条件的排列问题，通过对两位同学的错误解法的分析，寻找其合理成分，得到了两种正确的方法（直接法），真可谓错误也是正确解法的先导！进一步探索，我们又得到了间接法，两个不同角度的排除却得到两种迥然不同的结果，虽然另一种排除法错了，却又是多么相似的问题的答案，这就告戒我们解决计数问题时要注意题目的细微区别！ 作业：1.在本节课例题的基础上至少改编出两个问题,并给出解答. 2.从多个角度来探讨下列问题: 甲、乙两队各出7名队员按事先排好的顺序出场参加围棋擂台赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，到一方队员全部淘汰为止，另一方获得胜利，形成一种比赛过程，那么所有可能出现的比赛过程的种数是多少？ 说明与反思 本节课以一个排列问题为载体，通过暴露学生的错误，剖析错因，寻求合理成分，从而实现从错误向正确的过渡；
通过不断探索，发现新方法，从而优化思维；
通过在原问题的基础上改造一个问题，使其答案为原题的错误答案，让做错题的学生找回了自信；
通过课外引申问题，培养发散性思维能力。