[2019-2020学年吉林省长春市德惠市实验中学、前郭五中等九校高一上学期期中数学试题（解析版）]2019年德惠环城路

2019-2020学年吉林省长春市德惠市实验中学、前郭五中等九校高一上学期期中数学试题 一、单选题 1．已知集合，,则（） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】首先求集合，然后求. 【详解】 解得或 ， 或， . 故选:D. 【点睛】 本题考查集合的交集，属于简单题型. 2．下列各组函数中，表示同一函数的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】逐一分析选项，比较函数的三个要素，得到正确结果. 【详解】 A.的定义域是，的定义域是，两个函数的定义域不相同，不是同一函数. B.的定义域是 ，解得，定义域, 的定义域是，解得或 ，即或，两个函数的定义域不同，不是同一函数；

C.两个函数的定义域相同，并且，两个函数的定义域和解析式相同，是同一函数；

D.的定义域是，的定义域是，不是同一函数. 故选:C. 【点睛】 本题考查判断函数是否是同一函数，函数的三个要素是定义域，对应关系，值域，当定义域和对应关系相同，两个函数是同一函数，若三要素有一个不同就不是同一函数. 3．函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据函数解析式，写出解析式成立的条件即可求出函数定义域. 【详解】 要使函数有意义，则需：
，解得或， 所以函数的定义域为 故选：B 【点睛】 本题主要考查了有解析式的函数的定义域的求法，属于中档题. 4．下列函数中，图象关于原点对称且在定义域内单调递增的是（）. A． B． C． D． 【答案】D 【解析】逐一分析选项，得到正确结果. 【详解】 A.满足，函数是奇函数，关于原点对称，函数是单调递减函数；

B.定义域是 ，满足，所以函数是偶函数；

C.定义域，满足，函数是偶函数；

D..定义域，满足，函数是奇函数，增函数-减函数=增函数，满足条件；

故选:D. 【点睛】 本题考查函数的性质，意在考查对函数性质的灵活掌握，属于基础题型. 5．已知函数,则的值等于（） A．2 B．1 C．3 D．9 【答案】A 【解析】是奇函数，即，而，利用函数性质求解. 【详解】 是奇函数， 即， . 故选:A. 【点睛】 本题考查利用函数是奇函数，求函数值，本题的关键是观察，后面的问题就迎刃而解. 6．已知幂函数的图象不过原点，则的值为（） A．0 B．-1 C．2 D．0或2 【答案】A 【解析】根据函数是幂函数可知，得出：或，然后验证，得到的值. 【详解】 函数是幂函数， ，解得：或， 当时，，过原点，不满足条件；

当时，，不过原点，满足条件， . 故选:A. 【点睛】 本题考查幂函数的解析式和函数性质，形如的函数是幂函数，熟记和时，函数的性质和图象是解题 的关键，本题主要考查基础知识的掌握情况. 7．函数(其中)的图象不可能是( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于，当时，，且，故可能；
对于，当且时，，当且时，在为减函数，故可能；
对于,当且时，，当且时，在上为增函数，故可能，且不可能. 故选C. 点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置，从函数的值域，判断图象的上下位置；
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项． 8．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】分段函数若满足在上的单调递减函数，需满足每段都是单调递减，并且在分界点处的函数值比较大小，列不等式求的取值范围. 【详解】 若满足分段函数是上的单调递减函数，需满足 ，解得：
即的取值范围是. 故选:C. 【点睛】 本题考查已知分段函数的单调性，求参数的取值范围，属于基础题型，这类题型，容易忘记分界点处的函数值需比较大小，需谨记这点. 9．当时，，则的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】首先讨论和两种情况，当时，时，，解得：，然后再分别画图象，当满足条件的时候，根据图象求的范围. 【详解】 当时， ， ，不成立， 当时，当时，，解得：， 如图，若时，时，. 故选:B. 【点睛】 本题考查根据恒成立的不等式求参数的取值范围，意在考查数形结合分析和临界条件分析问题和解决问题的能力，同时需熟练掌握底数对图象的影响. 10．已知函数，若函数的值域为，则的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】若函数的值域是，需满足内层函数和轴有交点，即求的取值范围. 【详解】 ， 若满足函数的值域是，需满足 和轴有交点，即 解得或， 故选:B. 【点睛】 本题考查根据复合函数的值域，求参数取值范围的问题，属于中档题型，学习中弄清这两个问题1.的定义域，求参数取值范围， 2.函数的值域为，求参数取值范围. 11．已知函数为偶函数，且对于任意的，都有,设，，则（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】首先判断函数在的单调性，然后根据偶函数化简，然后比较2，，的大小，比较的大小关系. 【详解】 若，则函数在是单调递增函数， 并且函数是偶函数满足， 即， ， 在单调递增， ， 即. 故选:C. 【点睛】 本题考查利用函数的奇偶性和函数的单调性比较函数值的大小，意在考查函数性质的应用，意在考查转化和变形能力，属于基础题型. 12．已知，若函数有三个零点，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】本道题将零点问题转化成交点个数问题，利用数形结合思想，即可。

【详解】 有三个零点，有一个零点，故 ，有两个零点，代入的解析式，得到，构造新函数 ，绘制这两个函数的图像，如图可知 因而介于A,O之间，建立不等关系，解得a的范围为，故选A。

【点睛】 本道题考查了函数零点问题，难度加大。

二、填空题 13．在对应法则的作用下,中元素与中元素一一对应，则与中元素对应的中元素是____________. 【答案】 【解析】首先将中的元素写成，根据对应关系求的值. 【详解】 ， 那么 即与中的元素对应的就是， 故填：. 【点睛】 本题考查映射求原象，重点理解对应关系，属于简单题型. 14．已知函数的图象过定点P，则点P的坐标为_______. 【答案】 【解析】解析式中的指数求出的值，再代入解析式求出的值，即得到定点的坐标. 【详解】 由于函数经过定点，令，可得，求得， 故函数 ，则它的图象恒过点， 故答案是. 【点睛】 该题考查的是有关指数型函数图象过定点的问题，需要把握住，从而求得结果，属于简单题目. 15．若函数且，，则____________. 【答案】1 【解析】首先根据两个函数值求，再求和. 【详解】 根据条件可知，解得：， 即 ， ， 故填：1. 【点睛】 本题考查分段函数求值，意在考查基本的计算能力，属于简单题型. 16．已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是_____________. 【答案】 【解析】首先分成，，根据复合函数的单调性可知，外层函数是单调递增函数，即 ，内层函数在区间 单调递减，并且最小值大于0，即，求解的取值范围. 【详解】 ，， 若满足函数在上单调递减，只需满足 ，解得. 故填：. 【点睛】 本题考查根据复合函数的单调性求参数的取值范围，复合函数单调性的判断方法，首先分成内外层函数，然后根据“同增异减”判断函数的单调性. 三、解答题 17．计算下列各式的值：
（1）；

（2）． 【答案】(1)(2)0 【解析】代入指数运算法则和根式和分数指数幂的公式转化求解；
（2）代入对数运算法则求解. 【详解】 （1）原式 . （2）原式 . 【点睛】 本题考查分数指数幂和对数的运算法则，意在考查转化和计算能力，属于基础题型. 18．设集合. （1）若,求. （2），求实数的取值范围. 【答案】（1）（2） 【解析】（1）首先求集合和，再求；
（2）首先解集合，若，再根据包含关系列不等式组，求的取值范围. 【详解】 解：（1）当m=5, (2) ⅰ）令，无解 ⅱ） 【点睛】 本题考查集合的运算，以及根据集合的包含关系求参数的取值范围，一般含有参数的不等式可以采用分解因式求不等式的解集，根据集合的包含关系求参数时，1.不要忘了空集的情况，2,.一般需要借助数轴表示集合的包含关系. 19．已知函数，（且）. （1）求的定义域及的定义域. （2）判断并证明的奇偶性. 【答案】（1）函数的定义域为，函数的定义域为（2）是奇函数，证明见解析 【解析】（1）首先求函数的定义域，令，解得，求的定义域，令，求定义域；
（2）定义域关于原点对称，判断与的关系得到函数的奇偶性. 【详解】 解：（1）函数>0 函数的定义域为 函数的定义域是 （2）是奇函数 证明：函数的定义域为，定义域关于原点对称 （或证明） 是奇函数 【点睛】 本题考查函数的定义域，以及定义法判断函数的奇偶性，尤其是求抽象函数的定义域，已知的定义域是，那么的定义域就是令，再解，就是定义域. 20．函数和的图像的示意图如图所示， 两函数的图像在第一象限只有两个交点 （1）请指出示意图中曲线分别对应哪一个函数；

（2）比较的大小，并按从小到大的顺序排列；

（3）设函数,则函数的两个零点为，如果，其中为整数，指出的值，并说明理由。

【答案】（Ⅰ）C1对应的函数为，C2对应的函数为.（Ⅱ）（Ⅲ） 【解析】（Ⅰ）根据指数函数与幂函数图像特点进行判断选择（Ⅱ）根据计算结果比较大小（Ⅲ）根据零点存在定理求解. 【详解】 解：（Ⅰ）C1对应的函数为，C2对应的函数为. （Ⅱ） 所以从小到大依次为。

（Ⅲ）计算得 理由如下：
令， 由于， 则函数的两个零点 因此整数 【点睛】 本题考查指数函数与幂函数图像特点以及零点存在定理应用，考查基本分析求解能力，属基础题. 21．已知函数, （1）求函数的值域. （2）设,求的最值及相应的的值. 【答案】（1）（2）当x=1时，有最大值0；
当x=2时，有最小值-1 【解析】（1）利用函数是单调递增函数，直接求值域；
（2）求函数，，再换元，设 ，，，求二次函数的最值. 【详解】 解：（1） 的值域是 （2）的定义域为 ， 的定义域为 ， 设当 当=0即x=1时，有最大值0 当=1即x=2时，有最小值-1 综上:当x=1时，有最大值0；
当x=2时，有最小值-1 【点睛】 本题考查对数函数根据单调性求最值，以及换元法求二次函数的最值，本题有一个易错点是函数的定义域和的定义域不相同，的定义域应是. 22．已知函数． 求方程的实根；

若对于任意，不等式恒成立，求实数m的最大值． 【答案】（1）x=0；
（2）4 【解析】(1)由题得,再解即得.(2)先化简得，再利用基本不等式求右边函数的最小值即得解. 【详解】 （1） (2)由条件知 所以 而. 当且仅当f(x)=,即f(x)=2,x=0时取得最小值. 所以, 所以实数m的最大值为4. 【点睛】 (1)本题主要考查指数方程的解法，考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理转化能力.(2)处理参数问题常用的方法有分离参数和分类讨论.本题利用的是分离参数法.