2019河南省实验中学高一期中 [2019-2020学年市实验中学高一上学期11月月考数学试题(解析版)]

2021-11-03 09:30:57 | 浏览次数:

2019-2020学年市实验中学高一上学期11月月考数学试题 一、单选题 1.函数的定义域为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】根据函数解析式,写出自变量满足的条件,即可求解. 【详解】 要使函数有意义,则,解得且, 所以函数定义域为. 故选:A 【点睛】 本题主要考查了给出解析式的函数的定义域,属于中档题. 2.函数在上的最小值为( ) A.2 B.1 C. D. 【答案】C 【解析】根据函数解析式可知函数的单调性,利用单调性求最小值. 【详解】 因为函数, 所以函数在上是减函数, 所以当时,. 故选:C 【点睛】 本题主要考查了利用函数的单调性求函数的最值,属于中档题. 3.若且为第三象限角,则的值等于( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据同角三角函数的基本关系及角所在的象限,即可求解. 【详解】 因为且为第三象限角, 所以, 则. 故选:C 【点睛】 本题主要考查了同角三角函数间的基本关系,属于中档题. 4.设集合,若A为空集,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分两种情况分类讨论,时符合题意,时只需满足 即可求解. 【详解】 当时,原不等式为,A为空集;

当时,因为A为空集 所以无解, 只需满足, 解得, 综上实数的取值范围是. 故选:D 【点睛】 本题主要考查了一元二次不等式的解为空集,分类讨论的思想,属于中档题. 5.已知奇函数在上是增函数,若则的大小关系是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】根据函数为奇函数,只需比较,利用对数性质及指数性质比较,,即可求解. 【详解】 因为函数为奇函数, 所以, 因为, 且函数在上是增函数, 所以, 故选:B 【点睛】 本题主要考查了函数的奇偶性,单调性,对数函数、指数函数的性质,属于中档题. 6.已知,则( ) A.2 B.0 C. D. 【答案】D 【解析】将自变量代入函数解析式,利用对数的运算化简求值即可. 【详解】 . 故选:D 【点睛】 本题主要考查了对数函数的运算、性质,属于中档题. 7.若函数在区间上单调递增,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据复合函数单调性之间的关系进行求解即可. 【详解】 设g(x)=x2﹣ax+1, 则要使f(x)=ln(x2﹣ax+1)在区间(2,+∞)上单调递增, 由复合函数单调性可得:
满足,即, 得a, 即实数a的取值范围是, 故选:C. 【点睛】 本题主要考查复合函数单调性的应用,结合二次函数的单调性是解决本题的关键,注意真数大于0的条件的应用,属于易错题型.. 8.已知恒为正数,则取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】分两种情况分类讨论,根据对数函数的性质即可求解. 【详解】 当时,是减函数,, 则,解得;

当时,是增函数,, 则,解得,又,所以;

综上取值范围是. 故选:A 【点睛】 本题主要考查了对数函数的性质、利用单调性解不等式,分类讨论,属于中档题. 9.化简得 ( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】利用求出,第一个根号分子分母同时乘以,第二个根号分子分母同时乘以,结合平方关系即可得到。

【详解】 故选A 【点睛】 本题主要考查了同角三角函数的基本关系,属于中档题。

10.在平面直角坐标系中,集合设集合中所有点的横坐标之积为,则有( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】利用指数函数与对数函数的图象可知,图象有两交点,设两交点,,根据指数函数、对数函数性质可知,即可得到,进而求出. 【详解】 作出函数与图象:
设与图象交于不同的两点,设为,,不妨设,则, 在R上递减, ,即, , 即, 故选:B 【点睛】 本题主要考查了指数函数,对数函数的图象与性质、对数的运算,数形结合,属于中档题. 11.若对于定义在上的函数,其图象是连续不断的,且存在常数使得对任意实数都成立,则称是一个“特征函数”.下列结论中正确的个数为(  ) ①是常数函数中唯一的“特征函数”;

②不是“特征函数”;

③“特征函数”至少有一个零点;

④是一个“特征函数”. A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【解析】利用新定义“特征函数”,对选项逐个进行判定,即可求解,得到答案. 【详解】 对于①中,设,当时,函数是一个“特征函数”, 所以不是唯一的一个常值的“特征函数”,所以①不正确;

对于②中,函数, 则,即, 当时,, 当时,方程由唯一的解, 所以不存在常数使得对任意实数都成立, 所以函数不是“特征函数”,所以②正确. 对于③中,令,可得,所以, 若,显然有实数根,若,, 又因为的函数图象是连续的,所以在上必由实数根, 因此任意的“特征函数”必有实根,即任意“特征函数”至少有一个零点, 所以③是正确;

对于④中,假设是一个“特征函数”,则对任意的实数成立, 则有,而此式有解,所以是“特征函数”,所以④正确的, 所以正确命题共有②③④. 故选:C. 【点睛】 本题主要考查了函数的基本概念及其应用,其中解答中熟记函数的零点,以及正确理解“特征函数”,合理判定是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于中档试题. 二、填空题 12.已知函数则______. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】【详解】 ,选D. 13.已知幂函数的图像过点,则________ 【答案】9 【解析】将点的坐标代入函数解析式即可求出,利用函数解析式即可求值. 【详解】 因为幂函数的图像过点, 所以,解得, 故, 所以. 故答案为:9 【点睛】 本题主要考查了求幂函数的解析式、利用解析式求函数值,属于中档题. 14.一个扇形的弧长与面积的数值都是5,则这个扇形中心角的弧度数为__________. 【答案】 【解析】设扇形的半径为,由题意可得:, 据此可得这个扇形中心角的弧度数为. 15.20世纪30年代,里克特(C.F.Richter)制定了一种表明地震能量大小的尺度,就是使用测震仪地震能量的等级,地震能量越大,测震仪记录的地震曲线的振幅就越大,这就是我们常说的里氏震级M,其计算公式为其中,A是被测量地震的最大振幅,是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际的距离造成的偏差),众所周知,5级地震已经比较明显,计算8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的______倍. 【答案】1000 【解析】先根据求得地震最大振幅关于M的函数,将震级代入分别求出最大振幅,最后求出两次地震的最大振幅之比即可. 【详解】 由可得,即, 当时,地震的最大振幅为;
当时,地震的最大振幅为;

所以,两次地震的最大振幅之比是:,即8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的1000倍. 故答案为:1000 【点睛】 本题主要考查了对数函数的应用,以及对数的运算,属于中档题. 16.已知函数满足,函数,且与的图像的交点为,则 【答案】40 【解析】由知函数图象关于成中心对称,,图象关于点成中心对称,故交点关于成中心对称,即可求解. 【详解】 因为函数满足, 所以函数图象关于成中心对称, 又, 所以的图象也关于成中心对称, 因此与的图像的交点为关于成中心对称, 所以 故答案为:40 【点睛】 本题主要考查了函数图象的对称性及应用,求代数式的和,考查了运算能力,属于中档题. 三、解答题 17.(1)计算;

(2)已知,求的值. 【答案】(1)0(2)3 【解析】(1)根据终边相同的角同名三角函数值相等化简求值即可(2)先根据诱导公式化简,再利用同角三角函数间的关系化为正切即可. 【详解】 (1) (2) . 【点睛】 本题主要考查了三角函数的诱导公式,同名三角函数的基本关系,属于中档题. 18.设 (1)求 (2)若,求实数的取值范围. 【答案】(1)(2) 【解析】(1)化简集合,根据集合的交集运算即可求解(2)由可知,结合数轴求解即可. 【详解】 (1)由解得,故, 因为,所以,即, 所以. (2) 因为, 所以, 故. 【点睛】 本题主要考查了集合的交集,并集,子集,涉及一元二次不等式及绝对值不等式,属于中档题. 19.已知幂函数 (1)求的解析式;

(2)(i)若图像不经过坐标原点,直接写出函数的单调区间. (ii)若图像经过坐标原点,解不等式. 【答案】(1)或(2)(i) 单调递减区间为,无单调递增区间 (ii) . 【解析】(1)根据幂函数可得,求出m即可(2)(i)根据图象不过原点确定函数解析式,写出单调区间即可(ii)根据图象过原点确定函数解析式,利用函数单调性解不等式. 【详解】 (1) 因为幂函数, 所以,解得或, 所以函数为或. (2)(i)因为图像不经过坐标原点, 所以, 函数的单调递减区间为,无单调递增区间. (ii)因为图像经过坐标原点, 所以, 因为为偶函数,且在上为增函数, 所以, 又在上为增函数, 所以, 解得, 所以不等式的解为. 【点睛】 本题主要考查了幂函数的定义,奇偶性,单调性,属于中档题. 20.已知函数其反函数为 (1)求证:对任意都有,对任意都有 (2)令,讨论的定义域并判断其单调性(无需证明). (3)当时,求函数的值域;

【答案】(1)详见解析(2)详见解析(3) 【解析】(1)写出其反函数为,根据解析式即可证明(2)写出,分类讨论,写出定义域及单调性即可(3)写出,利用换元法求其值域即可. 【详解】 (1)证明:因为, 所以对任意都有. 因为其反函数为, 当时, , 所以对任意都有. (2)因为, 所以, 当时,解得,且函数在上为增函数 当时,解得,且函数在上为增函数 所以时函数定义域为,函数在上为增函数;
当时函数定义域为,函数在上为增函数. (3)当时, , 令, 则 因为对称轴为, 所以当时,,当时,, 故函数的值域为. 【点睛】 本题主要考查了指数函数对数函数的性质及运算,换元法,二次函数求值域,属于中档题. 21.已知函数是定义在上的奇函数;

(1)求实数的值. (2)试判断函数的单调性的定义证明;

(3)若对任意的,不等式恒成立,求实数的取值范围. 【答案】(1)1(2)减函数,证明见解析(3) 【解析】(1)根据题意由函数为定义在上的奇函数知,代入计算即可(2)首先对解析式变形,用作差法判断函数单调性即可(3)根据函数的奇偶性,单调性可得恒成立,只需求函数的最小值即可. 【详解】 (1)因为函数是定义在上的奇函数, 所以,即,经检验符合题意. (2)由(1)知 函数为R上的减函数,证明如下;

设, 则 因为,, 故, 则是R上的减函数. (3)因为为奇函数, 所以 又是R上的减函数, 所以恒成立, 令, 因为, 所以, 当时,, 所以时,不等式恒成立. 故实数的取值范围.. 【点睛】 本题主要考查了函数的奇偶性,单调性及证明,二次不等式恒成立,属于难题. 22.已知二次函数满足①对于任意,都有;
②;
③的图像与轴的两个交点之间的距离为4. (1)求的解析式;

(2)记 ①若为单调函数,求的取值范围;

②记的最小值为,讨论函数零点的个数. 【答案】(1)(2)①或②详见解析 【解析】(1)根据条件可知二次函数对称轴,的图像与轴的两个交点之间的距离为4可求出交点,利用交点式求函数解析式(2)①写出二次函数,根据对称轴与区间关系可求出的取值范围②分类讨论求出函数的最小值,换元后作出函数图象,再利用数形结合研究函数的零点,注意分类讨论思想在解题中的应用. 【详解】 (1)因为二次函数中, 所以对称轴, 又的图像与轴的两个交点之间的距离为4, 所以与轴交点为 设, 又, 所以 即. (2)① , 对称轴为, 因为为单调函数, 所以或 解得或. 故的取值范围是或. ②, 对称轴为, 当,即时,, 当,即时,, 当,即时, 综上 函数零点即为方程的根, 令,即的根, 作出的简图如图所示:
(i)当时,,或, 解得或,有3个零点. (ii)当时,有唯一解,解得,有2个零点. (iii)当时,有两个不同的解, 解得或,有4个零点. (iv)当时,,,解得,有2个零点. (v)当时,无解,无零点. 综上:当时,无零点;

当时,4个零点;

当时,有3个零点;

当或时,有2个零点. 【点睛】 本题主要考查了二次函数的解析式,单调性,最值,函数的零点,涉及分类讨论思想及数形结合,属于难题.

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