文科数学2010-2019高考真题分类训练专题四,,三角函数与解三角形第十二讲,解三角形—后附解析答案:2019全国二卷文科数学真题

专题四 三角函数与解三角形 第十二讲 解三角形 2019年 1. （全国Ⅱ文15）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinA+acosB=0，则B=___________. 2.（2019全国Ⅰ文11）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB=4csinC，cosA=－，则= A．6 B．5 C．4 D．3 3.（2019北京文15）在△ABC中，a=3，，cosB=． （Ⅰ）求b，c的值；

（Ⅱ）求sin（B+C）的值． 4.（2019全国三文18）的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知． （1）求B；

（2）若为锐角三角形，且c=1，求面积的取值范围． 5.（2019天津文16）在中，内角所对的边分别为.已知，. （Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的值. 6.（2019江苏15）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c． （1）若a=3c，b=，cosB=，求c的值；

（2）若，求的值． 7.（2019浙江14）在中，，，，点在线段上， 若，则____，________. 2010-2018年 一、选择题 1．(2018全国卷Ⅱ)在中，，，，则 A． B． C． D． 2．(2018全国卷Ⅲ)的内角，，的对边分别为，，．若的面积为，则 A． B． C． D． 3．（2017新课标Ⅰ）的内角、、的对边分别为、、．已知 ，，，则= A． B． C． D． 4．（2016全国I）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知，， ，则= A． B． C．2 D．3 5．（2016全国III）在中，，边上的高等于，则 A． B． C． D． 6．（2016山东）中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，则A= A． B． C． D． 7．(2015广东)设的内角的对边分别为，，．若，，，且，则 A． B． C． D． 8．(2014新课标2)钝角三角形的面积是，，，则= A．5 B． C．2 D．1 9．（2014重庆）已知的内角，，满足= ，面积满足，记，，分别为，，所对的边，则下列不等式一定成立的是 A． B． C． D． 10．（2014江西）在中，，，分别为内角，，所对的边长，若 ，，则的面积是 A．3 B． C． D． 11．（2014四川）如图，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为，，此时气球的高是，则河流的宽度等于 A． B． C． D． 12．（2013新课标1）已知锐角的内角的对边分别为， ，，，则 A． B． C． D． 13．（2013辽宁）在，内角所对的边长分别为．若 ，且，则= A． B． C． D． 14．（2013天津）在△ABC中，则= A． B． C． D． 15．(2013陕西)设△ABC的内角A, B, C所对的边分别为a,b,c,若,则△ABC的形状为 A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 16．(2012广东)在中，若，则 A． B． C． D． 17．（2011辽宁）的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， ，则 A． B． C． D． 18．（2011天津）如图，在△中，是边上的点，且，，则的值为 A．　　 B． C． 　　 D． 19．（2010湖南）在中，角所对的边长分别为．若，，则 A． B． C． D．与的大小关系不能确定 二、填空题 20．(2018全国卷Ⅰ)△的内角的对边分别为，已知 ，，则△的面积为__． 21．(2018浙江)在中，角，，所对的边分别为，，．若，，，则=___________，=___________． 22．(2018北京)若的面积为，且为钝角，则= ；
的取值范围是 ． 23．(2018江苏)在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为 ． 24．（2017新课标Ⅱ）的内角,，的对边分别为，，，若 ，则 25．（2017新课标Ⅲ）的内角，，的对边分别为，，．已知，，，则=_______． 26．（2017浙江）已知，，． 点为延长线上一点，，连结，则的面积是_______，=_______． 27．（2016全国Ⅱ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若， ，，则_____． 28．（2015北京）在△中，，则= _________． 29．(2015重庆)设的内角的对边分别为，且，，，则=________． 30．（2015安徽）在中，，，，则 ． 31．(2015福建)若锐角的面积为，且，，则等于 ． 32．(2015新课标1)在平面四边形中，，，则的取值范围是_______． 33．（2015天津）在中，内角所对的边分别为，已知的面积为，，，则的值为 ． 34．（2015湖北）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度 m． 35．（2014新课标1）如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点．从点测得点的仰角，点的仰角以及；
从点测得．已知山高，则山高________． 36．（2014广东）在中，角所对应的边分别为，已知 ，则 ． 37．（2013安徽）设的内角所对边的长分别为．若，则 则角_____． 38．（2013福建）如图中，已知点D在BC边上，ADAC，， ，，则的长为_______________． 39．（2012安徽）设的内角所对的边为；
则下列命题正确的是 ． ①若；
则 ②若；
则 ③若；
则 ④若；
则 ⑤若；
则 40．（2012北京）在中，若，则= ． 41．（2011新课标）中，，则AB+2BC的最大值为____． 42．（2011新课标）中，，则的面积为_ __． 43．（2010江苏）在锐角三角形，，，分别为内角，，所对的边长， ，则=_______． 44．（2010山东）在中，角所对的边分别为，若， ，则角的大小为 ． 三、解答题 45．（2018天津）在中，内角，，所对的边分别为，，．已知． (1)求角的大小；

(2)设，，求和的值． 46．（2017天津）在中，内角所对的边分别为．已知 ，． （Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的值． 47．（2017山东）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知， ，，求和． 48．（2015新课标2）中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，∆ABD面积是∆ADC面积的2倍． (Ⅰ)求 ；

(Ⅱ) 若AD=1，DC=，求BD和AC的长． 49．（2015新课标1）已知分别是内角的对边，． （Ⅰ）若，求 （Ⅱ）若，且，求的面积． 50．（2014山东）中，，，分别为内角，，所对的边长．已知， ． （Ｉ）求的值；

（II）求的面积． 51．（2014安徽）设的内角所对边的长分别是，且，，． （Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的值． 52．（2013新课标1）如图，在中，∠ABC＝90°，AB=，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°． （Ⅰ）若PB=，求PA；

（Ⅱ）若∠APB＝150°，求tan∠PBA． 53．（2013新课标2）在内角的对边分别为，已知． （Ⅰ）求；

（Ⅱ）若，求△面积的最大值． 54．（2012安徽）设的内角所对边的长分别为，且有 ． （Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ) 若，，为的中点，求的长． 55．（2012新课标）已知、、分别为三个内角、、的对边， ． （Ⅰ）求；

（Ⅱ）若，的面积为，求、． 56．（2011山东）在中，，，分别为内角，，所对的边长．已知 ． （I）求的值；

（II）若，，的面积． 57．（2011安徽）在中，，，分别为内角，，所对的边长，=， =，，求边BC上的高． 58．（2010陕西）如图，A，B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？ 59．（2010江苏）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度=4m，仰角∠ABE=，∠ADE=． （1）该小组已经测得一组、的值，tan=1.24，tan=1.20，请据此算出H的值；

（2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离（单位：m），使与之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为125m，试问为多少时，最大？ 专题四 三角函数与解三角形 第十二讲 解三角形 答案部分 2019年 1.解析 因为bsinA+acosB=0，所以由正弦定理，可得：， 因为，，所以可得，可得， 因为，所以． 2.解析因为的内角的对边分别为. 利用正弦定理将角化为边可得 ① 由余弦定理可得 ② 由①②消去得， 化简得，即. 故选A． 3.解析（Ⅰ）由余弦定理，得 ． 因为， 所以． 解得．则． （Ⅱ）由，得． 由正弦定理得，． 在中，， 所以 4.解析（1）由题设及正弦定理得． 因为，所以． 由，可得，故． 因为，故，因此． （2）由题设及（1）知△ABC的面积． 由正弦定理得． 由于为锐角三角形，故，，由（1）知，所以，故，从而． 因此，面积的取值范围是． 5.解析（Ⅰ）在中，由正弦定理，得，又由，得，即.又因为，得到，. 由余弦定理可得. （Ⅱ）由（Ⅰ）可得， 从而，， 故. 6.解析 （1）由余弦定理，得，即. 所以. （2）因为， 由正弦定理，得，所以. 从而，即，故. 因为，所以，从而. 因此. 7.解析：在直角三角形ABC中，，，，， 在中，，可得；

， ， 所以. 2010-2018年 1．A【解析】因为，所以由余弦定理， 得， 所以，故选A． 2．C【解析】根据题意及三角形的面积公式知， 所以，所以在中，．故选C． 3．B【解析】由， 得， 即， 所以，因为为三角形的内角，所以， 故，即，所以． 由正弦定理得，，由为锐角，所以，选B．  4．D【解析】由余弦定理，得，整理得，解得 或 （舍去），故选D． 5．D【解析】设边上的高为，则，， 所以．由正弦定理，知， 即，解得，故选D． 6．C【解析】由余弦定理得，所以 ，所以，即，又， 所以． 7．C【解析】由余弦定理得：， 所以， 即，解得：或，因为，所以，故选B． 8．B【解析】，∴，所以或． 当时，， 此时，易得与“钝角三角形”矛盾；

当时，． 9．A【解析】因为，由 得， 即， 整理得， 又， 因此，由 得， 即，因此选项C、D不一定成立．又， 因此，即，选项A一定成立．又， 因此，显然不能得出，选项B不一定成立．综上所述，选A． 10．C【解析】由可得①，由余弦定理及 可得②．所以由①②得，所以． 11．C【解析】∵， ∴ 12．D【解析】，，由余弦定理解得 13．A【解析】边换角后约去，得，所以，但B非最大角，所以． 14．C【解析】由余弦定理可得，再由正弦定理得． 15．B【解析】∵，∴由正弦定理得，∴，∴,∴，∴△ABC是直角三角形． 16．B【解析】由正弦定理得：
17．D【解析】由正弦定理，得， 即，，∴． 18．D【解析】设，则，，，在中，由余弦定理得，则，在中， 由正弦定理得，解得． 19．A【解析】因为，， 所以， 所以 因为，所以，所以．故选A． 20．【解析】由得， ， 因为，所以， 因为，，所以 所以， 所以． 21．；
3【解析】因为，，，所以由正弦定理得 ．由余弦定理可得 ，所以． 22．【解析】的面积 ， 所以，因为，所以． 因为为钝角，所以，所以， 所以， 故的取值范围为． 23．9【解析】因为，的平分线交于点， 所以， 由三角形的面积公式可得， 化简得，又，，所以， 则， 当且仅当时取等号，故的最小值为9． 24．【解析】由正弦定理得 即， 所以，又为三角形内角，所以． 25．75°【解析】由正弦定理 ，即 ， 结合 可得 ，则． 26．,【解析】由余弦定理可得， ， 由 所以， ． 因为，所以，所以， 27．【解析】∵，， 所以，， 所以， 由正弦定理得：解得． 28．【解析】由正弦定理，得，即，所以， 所以． 29．4【解析】由及正弦定理知：，又因为，所以；

由余弦定理得：，所以． 30．2【解析】由正弦定理可知：
． 31．7【解析】由已知得的面积为，所以 ，，所以．由余弦定理得 ，． 32． 【解析】如图作，使，，作出直线分别交线段、于、两点（不与端点重合），且使，则四边形就是符合题意的四边形，过作的平行线交于点，在中，可求得，在中，可求得，所以的取值范围为． 33．8 【解析】因为，所以， 又，， 解方程组，得，，由余弦定理得 ，所以． 34．【解析】依题意，，，在中， 由， 所以，因为，由正弦定理可得， 即 m，在中，因为，， 所以，所以 m． 35．150【解析】在三角形中，，在三角形中，，解得，在三角形中，，故． 36．2【解析】 由得：， 即，，∴，故． 37．【解析】， ，所以． 38．【解析】∵ 根据余弦定理可得 39．①②③【解析】 ① ② ③当时，与矛盾 ④取满足得：
⑤取满足得：
40．4【解析】根据余弦定理可得，解得b=4 41．【解析】在中，根据， 得，同理， 因此 42．【解析】根据得， ， 所以 =． 43．4【解析】（方法一）考虑已知条件和所求结论对于角A、B和边a、b具有轮换性． 当A=B或a=b时满足题意，此时有：，， ，，= 4． （方法二）， ． 由正弦定理，得：上式= 44．【解析】 由得，即， 因，所以.又因为 由正弦定理得， 解得，而则,故． 45．【解析】(1)在中，由正弦定理，可得， 又由，得， 即，可得． 又因为，可得． (2)在中，由余弦定理及，，， 有，故． 由，可得．因为，故． 因此， 所以， 46．【解析】（Ⅰ）由，及，得． 由， 及余弦定理，得． （Ⅱ）由（Ⅰ），可得，代入， 得． 由（Ⅰ）知，A为钝角，所以． 于是，， 故． 47．【解析】因为， 所以， 又 ， 所以， 因此，又， 所以， 又，所以， 由余弦定理， 得， 所以． 48．【解析】(Ⅰ) 因为，，所以． 由正弦定理可得． (Ⅱ)因为，所以．在和中， 由余弦定理得， ． ．由(Ⅰ)知，所以． 49．【解析】（Ⅰ）由题设及正弦定理可得． 又，可得，， 由余弦定理可得． （Ⅱ）由（Ⅰ）知． 因为，由勾股定理得． 故，得． 所以的面积为1． 50．【解析】（I）在中，由题意知， 又因为，所有， 由正弦定理可得． （II）由得，， 由，得． 所以 ． 因此，的面积． 51．【解析】：（Ⅰ）∵，∴， 由正弦定理得 ∵，∴． （Ⅱ）由余弦定理得， 由于，∴， 故． 52．【解析】（Ⅰ）由已知得，∠PBC=，∴∠PBA=30o，在△PBA中，由余弦定理得 ==，∴PA=；

（Ⅱ）设∠PBA=，由已知得，PB=，在△PBA中，由正弦定理得， ，化简得，， ∴=，∴=． 53．【解析】（Ⅰ）因为，所以由正弦定理得：
， 所以， 即，因为0，所以，解得B=；

（Ⅱ）由余弦定理得：，即，由不等式得：
，当且仅当时，取等号，所以， 解得，所以△ABC的面积为=， 所以△面积的最大值为． 54．【解析】（Ⅰ） （II） 在中， 55．【解析】（1）由正弦定理得：
（2） ，解得：． 56．【解析】（I）由正弦定理，设 则 所以 即， 化简可得又， 所以，因此 （II）由得 由余弦定理 解得．因此． 又因为所以 因此 57．【解析】由，得 再由正弦定理，得 由上述结果知 设边BC上的高为，则有 58．【解析】由题意知海里， 在中，由正弦定理得 =（海里）， 又海里， 在中，由余弦定理得 = 30（海里），则需要的时间（小时）． 答：救援船到达点需要1小时． 59．【解析】（1），同理：，． AD—AB=DB，故得， 解得． 因此，算出的电视塔的高度是124m． （2）由题设知，得， ，（当且仅当时， 取等号）故当时，最大． 因为，则，所以当时，-最大． 故所求的是m．