[文科数学2010-2019高考真题分类训练专题四,三角函数与解三角形第十一讲,三角函数的综合应用—后附解析答案] 2019全国二卷文科数学真题

专题四 三角函数与解三角形 第十一讲 三角函数的综合应用 一、选择题 1．（2016年天津）已知函数，．若在区间内没有零点，则的取值范围是 A． B． C． D． 2．（2016全国II卷）函数的最大值为 A．4 B．5 C．6 D．7 3．（2015年陕西高考）如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数 ，据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为 A．5 B．6 C．8 D．10 4．（2015浙江）存在函数满足，对任意都有 A． B． C． D． 5．（2015新课标2）如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，∠BOP=．将动点P到A，B两点距离之和表示为的函数，则的图像大致为 A B C D 6．（2014新课标1）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角的始边为射线，终边为射线，过点作直线的垂线，垂足为，将点到直线的距离表示为的函数，则=在[0,]上的图像大致为 A． B． C． D． 二、填空题 7．（2017浙江）我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率，理论上能把的值计算到任意精度。祖冲之继承并发展了“割圆术”，将的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积，= ． 8．（2017浙江）已知向量，满足，，则的最小值 是 ，最大值是 ． 9．（2016年浙江）已知，则______． 10．（2014陕西）设，向量，若， 则____． 三、解答题 11．（2018江苏）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆的一段圆弧（为此圆弧的中点）和线段构成．已知圆的半径为40米，点到的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形，大棚Ⅱ内的地块形状为，要求均在线段上，均在圆弧上．设与所成的角为． (1)用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围；

(2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大． 12．（2017江苏）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线的长为10cm，容器Ⅱ的两底面对角线，的长分别为14cm和62cm． 分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm． 现有一根玻璃棒，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计） （1）将放在容器Ⅰ中，的一端置于点处，另一端置于侧棱上，求没入水中部分的长度；

（2）将放在容器Ⅱ中，的一端置于点处，另一端置于侧棱上，求没入水中部分的长度． 13．（2015山东）设． （Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）在锐角△中，角，的对边分别为，若，，求△面积的最大值． 14．（2014湖北）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：，. （Ⅰ）求实验室这一天的最大温差；

（Ⅱ）若要求实验室温度不高于，则在哪段时间实验室需要降温？ 15．（2014陕西）的内角所对的边分别为． （I）若成等差数列，证明：；

（II）若成等比数列，求的最小值． 16．（2013福建）已知函数的周期为，图像的一个对称中心为，将函数图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），在将所得图像向右平移个单位长度后得到函数的图像． （1）求函数与的解析式；

（2）是否存在，使得按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定的个数；
若不存在，说明理由；

（3）求实数与正整数，使得在内恰有2013个零点． 专题四 三角函数与解三角形 第十一讲 三角函数的综合应用 答案部分 1．D【解析】，当 时，，时，，无零点，排除A,B；
当时，，时，，有零点，排除C．故选D． 2．B【解析】，因为，所以当 时，取得最大值为，故选B． 3．C【解析】由图象知：，因为，所以，解得：，所以这段时间水深的最大值是，故选C． 4．D【解析】对于A，当或时，均为1，而与此时均有两个值，故A、B错误；
对于C，当或时，，而由两个值，故C错误，选D． 5．B【解析】由于，故排除选项C、D；
当点在上时，．不难发现的图象是非线性，排除A． 6．C【解析】由题意知，，当时， ；
当时，，故选C． 7．【解析】单位圆内接正六边形是由6个边长为1的正三角形组成，所以 ． 8．4,【解析】设向量的夹角为，由余弦定理有：
， ， 则：
， 令，则， 据此可得：， 即的最小值是4，最大值是. 9．；
1【解析】，所以 10．【解析】∵，∴，∴，∵， ∴． 11．【解析】(1)连结并延长交于，则⊥，所以=10． 过作⊥于，则∥，所以， 故，， 则矩形的面积为， 的面积为． 过作⊥，分别交圆弧和的延长线于和，则． 令，则，． 当时，才能作出满足条件的矩形， 所以的取值范围是． 答：矩形的面积为平方米，的面积为 ，的取值范围是． (2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3， 设甲的单位面积的年产值为，乙的单位面积的年产值为， 则年总产值为 ，． 设，， 则． 令，得， 当时，，所以为增函数；

当时，，所以为减函数， 因此，当时，取到最大值． 答：当时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大． 12．【解析】（1）由正棱柱的定义，平面， 所以平面平面，． 记玻璃棒的另一端落在上点处． 因为，． 所以，从而． 记与水平的交点为，过作，为垂足， 则平面，故， 从而． 答：玻璃棒没入水中部分的长度为16cm. ( 如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为24cm) （2）如图，，是正棱台的两底面中心. 由正棱台的定义，⊥平面 ， 所以平面⊥平面，⊥. 同理，平面⊥平面，⊥. 记玻璃棒的另一端落在上点处. 过作⊥，为垂足， 则==32. 因为= 14，= 62， 所以= ，从而. 设则. 因为，所以. 在中，由正弦定理可得，解得. 因为，所以. 于是 . 记与水面的交点为，过作，为垂足，则 ⊥平面，故=12，从而 =. 答:玻璃棒没入水中部分的长度为20cm. (如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为20cm) 13．【解析】（Ⅰ）由题意 ． 由，可得；

由，得；

所以的单调递增区间是；

单调递减区间是． （Ⅱ），， 由题意是锐角，所以． 由余弦定理：， ，且当时成立． ．面积最大值为． 14．【解析】（Ⅰ）因为， 又，所以，， 当时，；
当时，；

于是在上取得最大值12，取得最小值8. 故实验室这一天最高温度为，最低温度为，最大温差为 （Ⅱ）依题意，当时实验室需要降温. 由（1）得， 所以，即， 又，因此，即， 故在10时至18时实验室需要降温. 15．【解析】：（1）成等差数列， 由正弦定理得 （2）成等比数列， 由余弦定理得 （当且仅当时等号成立） （当且仅当时等号成立） （当且仅当时等号成立） 即，所以的最小值为 16．【解析】（Ⅰ）由函数的周期为，，得 又曲线的一个对称中心为， 故，得，所以 将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）后可得的图象，再将的图象向右平移个单位长度后得到函数 （Ⅱ）当时，， 所以 问题转化为方程在内是否有解 设， 则 因为，所以，在内单调递增 又， 且函数的图象连续不断，故可知函数在内存在唯一零点， 即存在唯一的满足题意 （Ⅲ）依题意，，令 当，即时，，从而不是方程的解，所以方程等价于关于的方程， 现研究时方程解的情况 令， 则问题转化为研究直线与曲线在的交点情况 ，令，得或 当变化时，和变化情况如下表 当且趋近于时，趋向于 当且趋近于时，趋向于 当且趋近于时，趋向于 当且趋近于时，趋向于 故当时，直线与曲线在内有无交点，在内有个交点；
当时，直线与曲线在内有个交点，在内无交点；
当时，直线与曲线在内有个交点，在内有个交点由函数的周期性，可知当时，直线与曲线在内总有偶数个交点，从而不存在正整数，使得直线与曲线在内恰有个交点；
当时，直线与曲线在内有个交点，由周期性，，所以 综上，当，时，函数在内恰有个零点．