【文科数学2010-2019高考真题分类训练专题十二,,推理与证明第三十二讲,,推理与证明—后附解析答案】 2019全国二卷文科数学真题

专题十二 推理与证明 第三十二讲 推理与证明 2019年 1.（2019全国II文5）在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高． 成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为 A．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙 C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙 2010-2018年 一、选择题 1．(2018浙江)已知，，，成等比数列，且．若，则 A．， B．， C．， D．， 2．(2018北京)设集合则 A．对任意实数， B．对任意实数， C．当且仅当时， D．当且仅当时， 3．（2017新课标Ⅱ）甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说，你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩，看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则 A．乙可以知道两人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩 4．（2016年浙江）如图，点列分别在某锐角的两边上， 且，． (P≠Q表示点P与Q不重合)，若，为的面积，则 A.是等差数列 B.是等差数列 C.是等差数列 D.是等差数列 5．（2014北京）学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”三种．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”，如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两个学生，那么这组学生最多有 A．人 B．人 C．人 D．人 6．（2014山东）用反证法证明命题“设为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是 A．方程没有实根 B．方程至多有一个实根 C．方程至多有两个实根 D．方程恰好有两个实根 7．（2011江西）观察下列各式: ，，，，则的末四位数字为 A．3125 B．5625 C．0625 D．8125 8．（2010山东）观察，，，由归纳推理可得：若定义在上的函数满足，记为的导函数，则= A． B． C． D． 二、填空题 9．(2018江苏)已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前项和，则使得成立的的最小值为 ． 10．（2017北京）某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：
（ⅰ）男学生人数多于女学生人数；

（ⅱ）女学生人数多于教师人数；

（ⅲ）教师人数的两倍多于男学生人数． ①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为__________． ②该小组人数的最小值为__________． 11．（2016年山东）观察下列等式：
；

；

；

；

…… 照此规律，_______． 12．（2016年四川）在平面直角坐标系中，当不是原点时，定义的“伴随点”为，当是原点时，定义的“伴随点”为它自身，现有下列命题：
①若点的“伴随点”是点，则点的“伴随点”是点；

②单元圆上的点的“伴随点”仍在单位圆上；

③若两点关于轴对称，则它们的“伴随点”关于轴对称；

④若三点在同一条直线上，则它们的“伴随点”一定共线；

其中的真命题是 ． 13．（2016年全国II卷）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3. 甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________________. 14．（2015陕西）观察下列等式：
1－ 1－ 1－ …… 据此规律，第个等式可为______________________． 15．（2014安徽）如图，在等腰直角三角形中，斜边，过点作的垂线，垂足为；
过点 作的垂线，垂足为；
过点作的垂线，垂足为；
…，依此类推，设，，，…，，则_____． 16．（2014福建）若集合且下列四个关系：①；
②；
③；
④有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组的个数是____． 17．（2014北京）顾客请一位工艺师把、两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：
工序 时间 原料 粗加工 精加工 原料 原料 则最短交货期为 个工作日． 18．（2014陕西）已知，若，则的表达式为________． 19．（2014陕西）观察分析下表中的数据：
多面体 面数（） 顶点数（) 棱数（) 三棱锥 5 6 9 五棱锥 6 6 10 立方体 6 8 12 猜想一般凸多面体中，所满足的等式是_________． 20．（2013陕西）观察下列等式: … 照此规律, 第n个等式可为 ． 21．（2013湖北）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数。如三角形数1，3，6，10，…，第个三角形数为。记第个边形数为，以下列出了部分边形数中第个数的表达式：
三角形数 正方形数 五边形数 六边形数 …… 可以推测的表达式，由此计算 。

22．（2012陕西）观察下列不等式 ， ， …… 照此规律，第五个不等式为 ． 23．（2012湖南）设，将个数依次放入编号为1,2，…，的个位置，得到排列．将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前和后个位置，得到排列，将此操作称为C变换，将分成两段，每段个数，并对每段作C变换，得到；
当时，将分成段，每段个数，并对每段C变换，得到，例如，当=8时，，此时位于中的第4个位置. （1）当=16时，位于中的第___个位置；

（2）当（）时，位于中的第___个位置. 24．（2011陕西）观察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 …… 照此规律，第个等式为 ． 25．（2010浙江）设， 将的最小值记为， 则，其中=_______． 26．（2010福建）观察下列等式：K^S*5U.C#O ① cos2=21; ② cos4=88+ 1; ③ cos6=3248+ 181; ④ cos8=128256+ 16032+ 1; ⑤ cos10=1280+ 1120++1． 可以推测，= ． 三、解答题 27．(2018江苏)设，对1，2，···，n的一个排列，如果当时，有，则称是排列的一个逆序，排列的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列231的逆序数为2．记为1，2，···，n的所有排列中逆序数为的全部排列的个数． (1)求的值；

(2)求的表达式(用表示)． 28*．（2017江苏）对于给定的正整数，若数列满足 对任意正整数总成立，则称数列是“数列”． （1）证明：等差数列是“数列”；

（2）若数列既是“数列”，又是“数列”，证明：是等差数列． 29*．（2017浙江）已知数列满足：，． 证明：当时 （Ⅰ）；

（Ⅱ）；

（Ⅲ）． *根据亲们所在地区选作，新课标地区（文科）不要求． 专题十二 推理与证明 第三十二讲 推理与证明 答案部分 2019年 1.解析：由题意，可把三人的预测简写如下：
甲：甲乙． 乙：丙乙且丙甲． 丙：丙乙． 因为只有一个人预测正确， 如果乙预测正确，则丙预测正确，不符合题意． 如果丙预测正确，假设甲、乙预测不正确， 则有丙乙，乙甲， 因为乙预测不正确，而丙乙正确，所以只有丙甲不正确， 所以甲丙，这与丙乙，乙甲矛盾．不符合题意． 所以只有甲预测正确，乙、丙预测不正确， 甲乙，乙丙． 故选A． 2010-2018年 1．B【解析】解法一 因为()，所以 ，所以，又，所以等比数列的公比． 若，则， 而，所以， 与矛盾， 所以，所以，， 所以，，故选B． 解法二 因为，， 所以，则， 又，所以等比数列的公比． 若，则， 而，所以 与矛盾， 所以，所以，， 所以，，故选B． 2．D【解析】解法一 点在直线上，表示过定点，斜率为的直线，当时，表示过定点，斜率为的直线，不等式表示的区域包含原点，不等式表示的区域不包含原点．直线与直线互相垂直，显然当直线的斜率时，不等式表示的区域不包含点，故排除A；
点与点连线的斜率为，当，即时，表示的区域包含点，此时表示的区域也包含点，故排除B；
当直线的斜率，即时，表示的区域不包含点，故排除C，故选D． 解法二 若，则，解得，所以当且仅当时，．故选D． 3．D【解析】由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲、丁一人优秀一人良好，乙看到丙的结果则知道自己的结果，丁看到甲的结果则知道自己的结果，故选D．  4．A【解析】表示点到对面直线的距离（设为）乘以长度一半，即，由题目中条件可知的长度为定值，那么我们需要知道的关系式，过作垂直得到初始距离，那么和两个垂足构成了等腰梯形，那么，其中为两条线的夹角，即为定值，那么 ，，作差后：，都为定值，所以为定值．故选A． 5．B【解析】学生甲比学生乙成绩好，即学生甲两门成绩中一门高过学生乙，另一门不低于学生乙，一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且没有相同的成绩，则存在的情况是，最多有3人，其中一个语文最好，数学最差；
另一个语文最差，数学最好；
第三个人成绩均为中等．故选B． 6．A【解析】“至少有一个实根”的反面为“没有实根”，故选A． 7．D【解析】∵，，，，，，，∴(,且)的末四位数字呈周期性变化，且最小正周期为4，记(,且)的末四位数字为， 则，∴与的末位数字相同，均为8 125，选D． 8．D【解析】由给出的例子可以归纳推理得出：若函数是偶函数，则它的导函数是奇函数，因为定义在上的函数满足，即函数是偶函数，所以它的导函数是奇函数，即有=，故选D。

9．27【解析】所有的正奇数和()按照从小到大的顺序排列构成，在数列 中，前面有16个正奇数，即，．当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意；
……；
当时，= 441 +62= 503<，不符合题意；
当时，=484 +62=546>=540，符合题意．故使得成立的的最小值为27． 10．6 12【解析】设男生数，女生数，教师数为，则 ①，所以， ②当时，，，，，不存在，不符合题意；

当时，，，，，不存在，不符合题意；

当时，，此时，，满足题意． 所以． 11．【解析】通过归纳可得结果为． 12．②③【解析】对于①，令，则其“伴随点”为，而的“伴随点”为，而不是，故错误；
对于②设是单位圆上的点，其“伴随点”为，则有， 所以，所以②正确；
对于③设 的“伴随点”为，的“伴随点” 为，易知与关于轴对称，所以③正确；
对于④，设原直线的解析式为，其中不同时为0，且为该直线上一点，的“伴随点”为，其中都不是原点，且，则，， 将代入原直线方程，得， 则，由于的值不确定，所以“伴随点”不一定共线，所以④错误． 13．1和3【解析】为方便说明，不妨将分别写有1和2，1和3，2和3的卡片记为A，B，C从丙出发，由于丙的卡片上的数字之和不是5，则丙只可能是卡片A或B，无论是哪一张，均含有数字1，再由乙与丙的卡片上相同的数字不是1可知，乙所拿的 卡片必然是C，最后由甲与乙的卡片上相同的数字不是2，知甲所拿的卡片为B，此时丙所拿的卡片为A． 14．． 【解析】观察等式知：第n个等式的左边有个数相加减，奇数项为正，偶数项为负，且分子为1，分母是1到的连续正整数，等式的右边是． 15．【解析】解法一 直接递推归纳；
等腰直角三角形中，斜边，所以，，，． 解法二 求通向：等腰直角三角形中，斜边， 所以，， ，故= 16．6【解析】因为①正确，②也正确，所以只有①正确是不可能的；
若只有②正确，①③④都不正确，则符合条件的有序数组为，；
若只有③正确，①②④都不正确，则符合条件的有序数组为；
若只有④正确，①②③都不正确，则符合条件的有序数组为，，．综上符合条件的有序数组的个数是6． 17．42【解析】先由徒弟粗加一工原料，6天后，师傅开始精加工原料，徒弟同时开始粗加工原料，再9天后（15天后），徒弟粗加工原料完成，此时师傅还在精加工原料，27天后，师傅精加工原料完成，然后接着精加工原料，再15天后，师傅精加工原料完成，整个工作完成，一共需要6 +21+15= 42个工作日． 18．【解析】由，得， 可得，故可归纳得． 19．【解析】三棱柱中5 +6-9 =2；
五棱锥中6+6 -10 =2；
立方体中6+8 -12 =2，由此归纳可得． 20．12－22+32－42+…+n2=·（n∈） 【解析】观察上式等号左边的规律发现，左边的项数一次加1，故第个等式左边有 项，每项所含的底数的绝对值也增加1，一次为1，2，3，…，指数都是2，符号成正负交替出现可以用表示，等式的右边数的绝对值是左边项的底数的和，故等式的右边可以表示为·，所以第个式子可为12－22+32－42+…+=·（∈）． 21．1000【解析】观察和前面的系数，可知一个成递增的等差数列另一个成递减的等差数列，故， 22．【解析】观察不等式的左边发现，第个不等式的左边=，右边=，所以第五个不等式为 ． 23．（1）6；
（2） 【解析】（1）当=16时， ，可设为， ，即为， ，即， 位于中的第6个位置；

（2）在中位于两段中第一段的第87个位置，位于奇数位置上，此时在中位于四段中第一段的第44个位置上，再作变换得时，位于八段中第二段的第22个位置上，再作变换时，位于十六段中的第四段的第11个位置上．也就是位于中的第个位置上． 24． 【解析】把已知等式与行数对应起来，则每一个等式的左边的式子的第一个数是行数，加数的个数是；
等式右边都是完全平方数， 行数 等号左边的项数 1=1 1 1 2+3+4=9 2 3 3+4+5+6+7=25 3 5 4+5+6+7+8+9+10=49 4 7 …… …… …… 所以， 即 25．【解析】根据合情推理，利用归纳和类比进行简单的推理，可得= 26．962【解析】观察等式可知，的最高次的系数2,8,32,128构成了公比为4的等比数列，故．取，则，，代入等式⑤得 ，即（1） 取，则，，代入等式⑤得 即（2） 联立（1）（2）得，，所以=． 27．【解析】(1)记为排列的逆序数，对1，2，3的所有排列，有 ， 所以． 对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置． 因此，． (2)对一般的的情形，逆序数为0的排列只有一个：，所以． 逆序数为1的排列只能是将排列中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以． 为计算，当1，2，…，n的排列及其逆序数确定后，将添加进原排列，在新排列中的位置只能是最后三个位置． 因此，． 当时， ， 因此，时，． 28．【解析】证明:（1）因为是等差数列，设其公差为，则， 从而，当时， ， 所以， 因此等差数列是“数列”. （2）数列既是“数列”，又是“数列”，因此， 当时，，① 当时，.② 由①知，，③ ，④ 将③④代入②，得，其中， 所以是等差数列，设其公差为. 在①中，取，则，所以， 在①中，取，则，所以， 所以数列是等差数列． 29．【解析】（Ⅰ）用数学归纳法证明：
当时， 假设时，， 那么时，若，则，矛盾，故． 因此 所以 因此 （Ⅱ）由得 记函数 函数在上单调递增，所以=0， 因此 故 （Ⅲ）因为 所以得 由得 所以 故 综上， ．