全等辅助线的方法 [初中数学,全等辅助线]
第13讲 常见全等辅助线 中考说明 内容 A B C 全等三角形 了解全等三角形的概念，了解相似三角形与全等三角形之间的关系 掌握两个三角形全等的条件和全等三角形的性质；
会应用全等三角形的性质与判定解决有关问题 会运用全等三角形的知识和方法解决有关问题 知识网络图 前章回顾 1． 全等三角形有什么性质？ 2． 全等三角形有几种判定方法？ 13.1倍长中线类全等 概念辨析 一． 见中点-------倍长中线（倍长类中线） 解读：凡是与中点连线的线段都可看作是中线，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的，构成8字全等． 例题精讲 【例1】 已知：中，是中线．求证：． 【讨论一下】在△中，，则边上的中线的长的取值范围是什么 【例2】 如图，已知中，平分．是的中点，交于，交延长线于，．求证：． 【讨论一下】如图，已知中，．是的中点，交于，交 延长线于，．求证：平分． 【例3】 已知为的中线，，的平分线分别交于、交于．求证：． 【讨论一下】如图所示，在的边上取两点、，使，连接、，求证：． 【例4】 如图，已知在中，是边上的中线，是上一点，延长交于，，求证：． 【讨论一下】如图，已知在中，是边上的中线，是上一点，且，延长于，与相等吗？为什么？ 【例5】 如图，为线段的中点，在上取异于的点，分别以、为斜边在同侧作等腰直角三角形与，连结、、，求证：为等腰直角三角形． 【例6】 （2013年怀柔）已知：如图1，在中，，为中点，为上一点，为上一点，，联结． 求证：线段、、总能构成一个直角三角形；
【讨论一下】如图2，，为中点，为上一点，为上一点，，联结，请你找出一个条件，使线段、、能构成一个等边三角形，给出证明． 【例7】 如图1，矩形中，，为的中点，连结．请你判断并写出是的几倍；
【例8】 已知分别是及延长线上的一点，且，连接交底于，求证． 【讨论一下】如图2，在平行四边形中，，为的中点，，连结、，请问：与是否也具有上题中的倍数关系？若有，请证明；
若没有，请说明理由． 13.2截长补短类全等 概念辨析 一. 见线段间数量关系---------截长补短或旋转 解读：只要出现类似的线段关系，就可以采取截长补短的方法来做辅助线，注意这个方法可以说是四个方法，由于方向性的不同，所以截长两种，补短两种；
出现类似的线段关系时，截长补短就不行了，就得采取旋转的方法来做辅助线． 例题精讲 【例9】 （四中期中）如图，，和的平分线相交于，过的直线分别交、于、两点．求证：． 【讨论一下】如图所示，在中，，，求证：． 【例10】 （2009年崇文一模）在等边的两边、所在直线上分别有两点、，为外一点，且，，．探究：当、分别在直线、上移动时，、、之间的数量关系及的周长与等边的周长的关系． 如图，当点、边、上，且时，、、之间的数量关系是_______________；
此时______________；
写出结论并证明． 【讨论一下】如图所示，点、边、上，且当时，上题的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；
13.3旋转类全等 概念辨析 一. 旋转类全等模型：共顶点等腰三角形旋转模型——“手拉手”模型 证明全等的基本思想“” 例题精讲 【例1】 （1）如图1，点是线段的中点，分别以和为边在线段的同侧作等边三角形和等边三角形，连结和，相交于点，连结．求的大小． （2）如图2，固定不动，保持的形状和大小不变，将绕着点逆时针旋转，求的大小． 【讨论一下】以的两边为边向外作正方形，求证：，且． 【例11】 如图，已知，，，点为等腰直角内一点，，为延长线上的一点，且． （1）求证：平分；
（2）若点在上，且，求证：． 【讨论一下】如图1，，，．绕着边的中点旋转，，分别交线段于点，． 观察：①如图2、图3，当或时，_______（填“”，“”或“”）． ②如图4，当时，_______（填“”，“”或“”）． （2）猜想：如图1，当时， _______，证明你所得到的结论． 基础演练 【练1】 已知，是的中线，求证：
【练2】 已知中，，为的延长线，且，为的边上的中线． 求证：
【练3】 如图所示，已知中，平分，、分别在、上．，． 求证：∥ 【练4】 如图所示，在中，，，求证：． 【练5】 如图，已知和都是等边三角形，、、在一条直线上，试说明与相等的理由． 【练6】 已知：如图，点是正方形的边上任意一点，过点作交的延长线于点．求证：． 【练7】 如图，已知中，，，平分， 求证：. 【练8】 如图所示．已知正方形中，为的中点，为上一点，且．求证：． 【练9】 如图，，，三点共线，且与是等边三角形，连结，分别交，于，点．求证：． 能力提升 【练10】 已知：如图，点为线段上一点，、是等边三角形．、分别是、的高．求证：． 【练11】 已知：如图，、、都是等边三角形，且、、共线，．求证：也是等边三角形． 【练12】 如图，正方形的边长为，、上各存一点、，若的周长为，求的度数． 【练13】 如图，正方形中，．求证：． 巅峰突破 【练14】 （师大附中期中） 已知：等边三角形 （1）如图1，为等边外一点，且．试猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想；
（2）如图2，为等边内一点，且．求证：． 【练15】 在中，，，是的角平分线，于点． （1）如图1，连接，求证：是等边三角形；
（2）点是线段上的一点（不与点，重合），以为一边，在的下方作，交延长线于点．请你在图2中画出完整图形，并直接写出，与之间的数量关系；
（3）如图3，点是线段上的一点，以为一边，在的下方作，交延长线于点．试探究，与数量之间的关系，并说明理由． 小结与复习 1． 倍长中线运用了那个最常见的全等模型？ 2． 见到线段数量关系时，最常见的辅助线方法是？
