[初中数学复习,双曲线上的反向等角与将军饮马]

双曲线上的反向等角与“将军饮马” 杜桥实验中学 徐君斌 双曲线上关于原点对称的两个点与任意的第三个点，必能构成反向等角的关系. 如图，点与关于原点对称. 当或时，能形成横向的反向等角；

当时，则能形成纵向的反向等角. 上述两图中，均有，即形成反向等角，或称为“反射”模型，而初中 数学中的“反射”模型，最常见于“将军饮马”问题. 下面就是本人原创的一系列，反向 等角与“将军饮马”相结合的问题. 典型例题 如图，点(，)在双曲线上，点与关于原点对称，直线与双曲线 交于点，为直线上的一个动点. (1)当时. ① ；

②的最小值为 ；

(2)当时，且保证的值最小. 请问点是否定点，若是定点，请求出 该点坐标；
若不是定点，请说明理由. 例题精析 (1)①；

②的最小值为；

解题后的猜想：
(2)参数法：
设的解析式为， 其中(，)，(，)， ，得， 则，当时，(即为定点). 相似法1：
，即，， 则…… 相似法2：
，即，，…… 反向等角法2：
，，三点共线， 则点与重合(即为定点). 配套练习 1.如图，点(，)在双曲线上，点与关于原点对称，直线与双曲线 交于点，为直线上的一个动点. (1)当时，的最小值为 ；

(2)当时，且保证的值最小. 请问 点是否定点，若是定点，请求出该点坐标；

若不是定点，请说明理由. 2.如图，点(，)在双曲线上，点与关于原点对称，点(，)在轴 上运动(且)，过点作轴的垂线，为直线上的一个动点. (1)当时，的最小值为 ；

(2)若点从(，)位置出发向右平移，且要保证的值最小. 请问点的运 动路径有何特征？ 3.如右图，点(，)，(，)，(，)在轴上运动(且)，过点 作轴的垂线，为直线上的一个动点. 若点从(，)位置出发向右平移， 且要保证的值最小，则点的运动路径大致正确的是（ ） 4.如图，点(，)在双曲线上，点与关于原点对称，点(，)在轴 上运动(且)，过点作轴的平行线，为直线上的一个动点. (1)当时，的最小值为 ；

(2)若点从(，)位置出发向右平移，且要保证的值最小. 请问点的运 动路径有何特征？ 5.如图，点(，)，(，)，(，)在轴上运动(且)，过点作 轴的平行线，为直线上的一个动点，连接. 若点从(，)位置出发 向上平移，且要保证的值最小. (1)点必在某个函数的图象上运动，则该函数的图象应该是（ ） A. 直线 B. 射线 C. 一段双曲线 D. 一段抛物线 (2)在点的运动过程中，的面积变化规律是（ ） A. 始终不变 B. 不断增大 C. 不断减小 D. 先增大后减小