数学课程的实践与反思

伴随《义务教育数学课程标准（2011年版）》的正式颁行，我国这一课程标准已实施数年，自然也产生了不少有关数学课程的教学实践与教学反思。为此，北京教育学院张丹教授、成都大学张晓霞教授、南京师范大学马复教授、首都师范大学刘晓玫教授、西南大学黄燕苹教授、北京师范大学曹一鸣教授及江苏省教研室李善良教授和其他数学教育工作者一道对1—12年级的数学课程实践进行探讨，总结与提炼我国小学与初高中数学教育的经验，反思存在的问题。

一、1—6年级数学课程的实践与反思

1.关于小学数学课程及教师专业发展

广西师范大学副教授叶蓓蓓开场就谈起她的研究“新中国小学数学课程内容知识量的演变”的动机主要源于她的导师——吕世虎教授的研究，她表示吕教授曾研究过中学数学课程内容知识量成“多少多少”这样的正弦曲线变化，所以她很希望了解小学数学内容的知识量是否也呈现相同的变化趋势。在她的研究中，她尝试回答了这样三个问题，即新中国小学数学课程内容知识量的发展变化、这些发展变化所具有的特点及其对当今小学数学课程内容改革的启示。她选定1952年12月教育部颁布的《小学算术教学大纲（草案）》和《小学珠算教学大纲（草案）》）（简称52大纲，以下用简称）、63大纲、78大纲、86大纲、92大纲，2001年7月教育部颁布的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（简称01标准，以下用简称）、11标准等大纲作为具有代表性的小学大纲，以文献分析的形式形成课程内容知识量分析框架，梳理课程内容知识量的变化情况，思考课程内容知识量的变化对小学数学课程改革的启示。

她表示，沿着其导师吕世虎（2012）的研究思路，在定义了课程内容的“知识领域”、“知识单元”、“知识点”等概念的基础上，可以提出“知识领域”和“知识单元”之间的“知识块”概念，得到小学数学课程内容知识量的分析框架，包括数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践等4个知识领域，数与计算、代数初步、量与计算、平面几何、立体几何、统计初步、概率初步、应用题、实践活动等9个知识块以及包括整数的认识在内的21个知识单元。并且，她对代表性的课程大纲（课程标准）进行了系统的内容分析。经过分析，发现1949年至今的小学数学教学大纲（课程标准）已涵盖了数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践等4个知识领域。除了保持不变的知识单元，如整数的认识、整数的四则运算、分数的认识、分数的四则运算、小数的认识、小数的四则运算、百分数度量单位的认识、度量单位的相互转化、平面几何的认识、平面几何的相关计算、立体几何的认识、立体几何的相关计算、应用题等外，其他知识单元在代表性大纲中的趋向是逐步增加的。另外，在她的研究中，还会发现小学数学课程内容知识点的发展并不按照正弦走向，在63大纲达到顶峰后开始减少，因此，她认为小学数学课程内容知识量的变化在一次剧增、剧减过程后基本上保持稳定，“数与代数”知识领域下的“数与计算”是小学数学课程的主要内容，“数与计算”知识块下的“整数的四则运算”知识单元占据大部分的内容量。“量与计量”是小学数学课程特有的内容，且一直保持着相对稳定的知识量，“平面几何”知识块下的“平面图形的认识”是小学几何知识的主要内容。“应用题”知识块（单元）作为中国小学数学课程的独有内容在历年改革中得到保留，这是因为对课程内容知识量演变的探讨最终还是要回归到教学实践的实际意义上来。鉴于此，她认为在小学数学课程内容的选择上，我们应处理好传统与现代的关系，使内容的现代化与小学生的认知水平相适应，而且小学数学课程内容知识类型的拓展应处理好“陈述性知识”向“过程性知识”的渐进。知识类型的拓展应与小学教师的专业知识水平相适应，在小学数学课程内容知识量的确定方面，应该通过广泛的调查与恰当的试验等多种方式，要结合我国小学数学的实际。

小学数学课程的操作离不开教师的努力，有关教师教学专业性的研究也日益得到关注，香港中文大学讲师张侨平的报告主要围绕小学数学教师教育中的MPCK（数学学科教学知识）研究而展开。他表示，小学学生和教师对待诸如“写一个尽可能大的数”这样的问题的看法会不尽相同，因为这个年龄段的学生很可能是凭借直觉去感知问题的。但是，他强调说，一些学生出于直觉感知而出人意料的做法往往会被教师的“常规性”抹杀掉。他以化简分数的例子作进一步的解释说明，如在化简时，很多学生凭借直观将分子、分母的6划去，得出的结论，类似的还有，分子、分母同时划去6，得到。这些做法在教师看来是非常规的，因此很容易将孩子的创造性抹杀掉。他指出，由于数学与学生纯粹的生活经验之间存在一定的断裂性，学生们也总会产生很多的疑问，如数学的“0”是无，中文的“零”为何是有？0是自然数吗，是又如何，不是又如何？为什么“0”作除数是没意义的呢，什么叫没意义？小学生，尤其是低年级的学生对数学的兴趣掺杂着与他们原有生活经验相异的好奇，因此我们在培训教师时应让他们适当地考虑学生自己的理解。生活的语言到数学的语言再到符号之间是存在缝隙和裂痕的，教师应该起到桥接和填补的作用，如为什么要先乘除后加减，为什么要先通分才能运算，为什么是三角形、四边形，而不是三边形、四角形等，这些看起来稀松平常的知识，细想起来却很难回答。那么，教师如何才能算尽职？他借用韩愈的话总结道，教师除了授业，最终还是要解惑的，即教师须有足够的知识储备为学生解疑答惑，并针对这些疑惑设计教学。那在教学中应该如何促进学生的理解？他表示我们要关注不同学生的层次需求，可以进行“做表”教学，将表格的内容分成四大部分，分别是学生的疑惑、教师的装备、如何带领学生、教学如何发展。最后，他指出，教学要时刻注意对教学方法和成效的反思，加深对一些基本问题的认识，多用自省模式发问，如“有数感、空间感这回事吗？能教吗？怎么教？”他认为，MPCK是随着教师的发展而逐渐积累的，这种教学经验由新手的只能把一堂课教完，可以慢慢地过渡到挥洒自如的状态，需要一个长时间的过程。

关于小学数学教学思想的问题，美国天普大学助理教授丁美霞与美国威得恩大学助理教授李小保在对比中、美两国的教材后有了新的理解。什么是基本数学思想？丁美霞指出，在他们的研究中，这个概念指的是基本原则、性质、关系、结构等，如等值概念、基本运算定律、逆运算之间的关系等。那为什么将研究的重心聚焦于基本数学思想呢？她指出，有些学生不能理解复杂概念的原因往往可以追溯到他们在小学阶段对这些基本数学思想的肤浅或不完整的理解。学生，甚至有些教师对基本数学思想尚不能完全理解。李小保则用具体的事例解释了他们的研究缘起，他表示2008年他们曾做过一项对比研究，即分别考查美国和中国的小学生“8+4=？+5”这个问题。研究发现，美国从幼儿园到六年级的145个学生中无一人做对，同样的问题在对安徽、江苏等省的学生考查时却得到了截然相反的结果，因为大部分的学生都可以得出正确答案。据此，他分析道，这有可能是中、美两国数学教材的不同引起的差异性。另外，他还指出，很多美国职前教师普遍混淆结合律和交换律，特别是不能用文字题来说明和演示乘法结合律。那么，如何优化学生的学习环境，更好地发展他们对基本数学思想的理解，从而为后继的学习打好基础呢？鉴于教材提供的学生学习以及教师增长知识的机会，他认为教材是学习环境中的关键因素之一，对教材的比较研究尤为重要，可以打破本土化教学的局限性，给数学教学带来更为广阔的视野。