概率论和金融学的结合

摘要:对现代金融数学的发展进行了较详细的综述，并就其研究动态及发展趋势进行了分析。

关键词:金融数学；概率论；鞅理论；最优停时理论

一、引言

现代金融理论伴随着金融市场的发展大量应用概率统计，这是经济数学化的最大成就，从而出现了一个全新的学科—-金融数学。金融数学是以概率统计和泛函分析为基础,以随机分析和鞅理论为核心，主要研究风险资产（包括衍生金融产品和金融工具）的定价、避险和最优投资消费策略的选择。近二十几年来，金融数学不仅对金融工具的创新和对金融市场的有效运作产生直接的影响，而且对公司的投资决策和对研究开发项目的评估（如实物期权）以及在金融机构的风险管理中得到广泛应用。现在对它的研究方兴未艾,21世纪肯定是它进一步蓬勃发展的时代。

二、金融数学的历史进展

金融数学的历史可以追溯到1900年法国数学家巴谢利耶 (L·Bachelier)的博士论文—“投机的理论”(Theoryof Speculation)，这宣告了金融数学的诞生。在文中他首次用布朗运动来描述股票价格的变化，他认为在资本市场中有买有卖, 买者看涨、卖者看跌, 其价格的波动是布朗运动(Brownian Motion) 其统计分布是正态分布, 这要比爱因斯坦1905年研究布朗运动早5年。

然而，巴谢利耶的工作没有引起金融学界的重视达50多年。20世纪50年代初，萨缪尔森（PaulA.Samuelson）通过统计学家萨维奇（L·J.Savage）重新发现了巴谢利耶的工作，这标志了现代金融学的开始。现代金融学随后经历了两次主要的革命，第一次是在1952年。那年，马尔柯维茨（H.Markowitz,1952）发表了他的博士论文，提出了“资产组合选择的均值方差理论”（mean-variance theory of portfolio selection）.它的意义是将原来人们期望寻找“最好”股票的想法引导到对风险和收益的量化和平衡的理解上来。给定风险水平极大化期望收益，或者给定收益水平极小化风险，这就是上述“均值方差理论”的主要思想，我们可以将它看成是一个带约束的最优化问题。稍后，夏普（W.F.Sharpe,1964）和林特纳（J.Lintner,1965）进一步拓展了马尔柯维茨的工作，提出了“资本资产定价模型”（capital asset pricing model,简称CAPM）。它的要点是确定每一个股票和整个市场的相关性，于是，对于上述最优化问题，每个股票的持有量可以由该股票的平均回报率和该股票与市场的相关系数来确定。

值得一提的是20世纪60年代的另一个有影响的工作是萨缪尔森（Samuelson,1965）和法马（E.Fama， 1965）的“市场有效性假设”（efficient market hypothesis）,这本质上是对于市场完备性的某种描述。他们证明，在一个运作正常的市场中，资本价格过程是一个（下）鞅，换句话说，将来的收益状况实际上是不可测的，这项工作实际上为第二次革命做了铺垫。费希尔（Fisher）和洛里（lorie）利用1920年中期倒1960年中期的历史数据检测了“市场有效性假设”。他们的结果表明，在这段时间里，随机的选择股票并且持有，其平均回报率为每年9.4％，它要比一般的专业经纪人为他们的顾客运作所获得的赢利来得高。

金融数学的第二次革命发生在1973年。那年，费希尔·布莱克和迈伦·斯科尔斯（F.Black and M.Scholes,1973 ）发表了著名的Black-scholes公式，给出了欧式期权定价的显示表达式。默顿和斯科尔斯在纪念布莱克的一篇文章（Merton and scholes,1995）中叙述了当年布莱克和斯科尔斯的文章被接受的困难程度，其原因是他们的工作超前了那个时代。不久，默顿获得了另一种推导方法，并且给以了推广。1979年，考克斯、罗斯和鲁宾斯坦（Cox,Ross,and Rubinstein,1979）发表了二叉树模型；同时哈里森和克雷普斯（Harrison and Kreps）提出了多时段的鞅方法和套利。1981年，哈里森和普利斯卡（Harrison and Pliska,1981）提出了等价鞅测度（这与“市场有效性假设”有密切的关系）。这些工作本质上是为了风险管理这个主题服务的。

三、现代金融数学的发展趋势

（一）金融数学的一些新问题

金融数学的两大突破都用到了非常深刻的数学工具。前者需要近20年发展起来的随机分析;后者更是为数学家提出了许多新问题。如美式期权问题、亚洲期权问题、利率的期限结构问题、市场的波动与突发事件问题,等等。在理论研究上,模型的进一步修正是一个需要深入研究的问题。在应用研究上,如何针对具体的金融问题设计新的期权?也不是所有期权都会有精确的定价公式。如何做各种近似计算?各类保险合同实际上也是一种特殊的期权。如何应用于保险事件?最重要的是结合中国的金融实际还有许多宏观与微观的经济问题需要解决。

（二）概率论在金融数学中最新的理论发展

1、鞅理论

现代金融理论最新的研究成果是鞅理论的引入。在市场是有效的假定下, 证券的价格可以等价于一个鞅随机过程。由Karatzas 和Shreve 等人倡导的鞅方法直接把鞅理论引入到现代金融理论中，利用等价鞅测度的概念研究衍生证券的定价问题,得到的结果不仅能深刻揭示金融市场的运行规律,而且可以提供一套有效的算法,求解复杂的衍生金融产品的定价与风险管理问题。利用鞅理论研究金融理论的另一个好处是它能够较好地解决金融市场不完备时的衍生证券定价问题，从而使现代金融理论取得了突破性的进展。目前基于鞅方法的衍生证券定价理论在现代金融理论中占主导地位,但在国内还是一个空白。

2、最忧停时理论

最优停时理论是概率论中一个具有很强应用背景的领域,他的蓬勃发展是60 年代以后的事。近几年,在国内也有一些学者开始热心这一领域的研究,而且取得了可喜的成果运用最优停时理论研究了具有固定交易费用的证券投资决策问题,给出了具有二个风险证券的投资决策问题一种简化算法。在国内有关这方面的研究尚不多见，相信运用最优停时理论来研究投资决策问题和风险最小化问题会有更大的进展。

四、结束语

金融与数学的结合越来越引起国际金融界和数学界的关注。金融数学也已经开始在我国得到了越来越广泛的重视。所以更应鼓励数学系学生去考经济金融研究生; 增加经济和金融专业数学内容(而不是减少)，鼓励专家学者“下海”,以形成高素质的新型企业家、银行家集团，为我国的金融体制改革,以及我国金融市场与国际金融市场接轨、参与国际金融市场竞争,做出应有的贡献。

参考文献：

[1]刘海龙,德惠.人文科学与自然科学的交叉研究:金融学中的数理方法综述.东北大学学报,1999，（4）

[2]劳汉生. 数理金融学: 21 世纪概率论和金融学结合的一个研究热点[J ]. 中国统计,1999 ,(9)

[3]（美）Joseph Stampfli,Victor Goodman 著，蔡明超译. 金融数学.机械工业出版社.2004.