浅谈概率在实际问题中的具体应用

[摘 要] 随着人类文明的不断进步，科学技术的不断发展，数学在实际生活中的应用越来越广。数学的一个十分重要的分支--概率论，在应用数学众多领域中扮演着愈来愈重要的角色。正如英国经济学家和逻辑学家杰文斯所说的那样，概率论是人类生活的领路人，假若没有对概率的某种估算，我们就无所作为，寸步难行。概率论已经渗透到我们生活的方方面面，我们要善于利用好这一工具，培养和提高自己分析问题和解决问题的能力。

[关键词] 随机 概率 应用 问题

所谓随机现象，就是指本质上不同于确定性现象的非确定性现象，它广泛地存在于现实生活与科学研究之中。概率论正是对随机现象的统计规律进行演绎研究的数学学科。这是一门兼具理论性与应用性特征的数学分支。随着生产力的不断发展，概率论已经渗透到我们生活的各个领域，正如英国经济学家和逻辑学家杰文斯所说的那样，概率论是人类生活的领路人，假若没有对概率的某种估算，我们就无所作为，寸步难行。本文从应用入手，利用概率理论去研究形形色色的实际问题，力图使人们在种类繁多的应用问题中学会使用这些工具和概念，以培养和提高分析问题和解决问题的能力。

1、古典概率的应用

通过初等计算而获得随机事件的概率，对一类特殊的、简单的概率模型是能够办到的。古典概型就是这样一类特殊的概率空间。通过它，我们可以解决实际生活中的许多问题。

例1（生日问题）：某年级有n个人（n≤365），问至少有两个人的生日在同一天的概率有多大？

问题是对人数为n的年级进行生日调查。

问题的基本结果是n个人生日的一种具体分布，由于生日出现的随机性，保证了n个生日种种分布的等可能性。

基本事件的数学构造性处理是：将365天设想成365个“房间”，然后按n个人的生日“对号入室”。这就相当n个可辩质点的每一个都以相同的概率，等可能地被分配到某一“室”内。形象示意图如下：

基本结果总数就是把n个人安排进这365个“房间”的所有可能的不同方法数。基本结果的差异不仅依“人”、依“房”，而且还依“房”内的“人数相鉴别”，因而基本事件总数恰为从365个不同元素中每次取出n个的允许重复的排列总数。

所关心的事件A=“至少有两个人的生日在同一天”=有两个人的生日在同一天∪有三个人的生日在同一天∪……∪n个人的生日在同一天

这是一个比较复杂的事件，所以可以从反面去考虑原事件的逆事件A 的结构：

A=任意两个人的生日不在同一天

=n个人的生日全不相同

=恰有n个“房”，其中各住一“人”

=365个不同元素，每次任取n个依一定的顺序排成一列

这样就抓住了事件A的数学结构的本质，从而知道了对A有利的基本事件数为Cn365·n！

由互逆事件的概率关系，即知

P（A）=1—Cn365·n！/365n=1—365！/365n·(365—n)！

2、条件概率的应用

直观地讲，概率本来是根据过去的经验或对未来的预测得出来的关于随机事件发生可能性大小的数量指标。在赋予新的信息时，因基本条件发生了变化，事件发生的可能性大小就应该加以必要的修正。这就是条件概念在实际问题的应用，具体问题如下：

例2：一批产品共100件，对其进行抽样检查，整批产品不合格的条件是在被检查的5件产品中至少有1件是废品。如果在该批产品中有5%是不合格的。试问该批产品被拒绝接收的可能性是多大？

分析：如令A=该批产品被拒绝接收事件；则显然有A=所抽取5件产品中至少有1件是废品。

该事件结构比较复杂，为便于计算，可考虑其逆事件A=该批产品被接收=所抽取5件产品皆为合格品记Bk=第K件被检查产品合格（K=1，2，3，4，5）

为认识A发生的可能性大小，可通过B1发生；B1、B2同时发生；B1，B2，B3同时发生以及B1，B2，B3，B4同时发生等一系列信息而了解它，以此能得出以下公式：

P(A)=P（B1）P（B2—B1）P（B3—B1B2）P（B4—B1 B2 B3）P（B5—B1 B2 B3 B4）

由于100件产品中有合格品95件，故P（B1）=95/100；在B1发生后，剩下99件产品中尚有94件合格品，故P（B2—B1）=94/99；依此类推，得P（B3—B1B2）=93/98，P（B4—B1 B2 B3）=92/97，P（B5—B1 B2 B3 B4）=91/96。

所以P(A)≈0.77，P（A）=1—P(A)≈0.23，即该批产品被拒绝接受的可能性是23%。

总之，概率是研究生活中的随机现象的，从随机现象中发现规律。但是，由于随机事件发生概率有其自身的客观性，所以如果要利用它来解决我们生活中的实际问题，就得先认识它，理解它，尊重它，不可凭自己的主观意志去随意改变它。只有这样，概率论才可以充分发挥它为人类生活做贡献的功能。

参 考 文 献

[1]李贤平.概率论基础[M].北京:高等教育出版社,1997.

[2]谢国瑞等.概率论与数理统计[M].北京:高等教育出版社,2003.

[3]陈萍.Γ函数在概率问题中的巧妙应用[J].衡水学院学报,2010(1).

[4]王涛,马程远.离散型随机变量的概率密度函数及其应用[J].华北科技学院学报,2010(1).■

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文