二维随机变量函数分布教学难点研究

摘 要： 二维随机变量函数的分布是概率论中的教学难点内容，在教学中，很多教师普遍弱化该章节内容的学习，但是作为二维随机变量教学内容的重要组成部分，不能忽略该知识点的讲解.本文就如何讲好二维随机变量和函数、商函数分布内容谈谈认识.

关键词： 概率论 二重积分 卷积公式 商分布函数 斜率

在概率论教学中，二维随机变量函数的分布是教师公认难讲的内容，工科类高校对这部分的处理，很多是弱化该内容的教学，甚至不讲或少讲，或以不是考查重点一笔带过.笔者认为，该章内容虽然比较难，但是作为随机变量的重要组成部分，不能忽略知识讲解.

在二维随机变量相关内容的学习中，会用到高等数学中的很多内容，譬如求积分、求级数和、求导数等一系列知识，特别是在求二重积分时，如何确定积分的上下界，成为概率论的教学难点内容.因此在求二维随机变量在平面区域上概率时，就需要对二重积分的内容进行复习，再进入二维随机变量和函数和商函数分布的学习，有助于学生知识的衔接，降低学习难度，提高学生的学习积极性.

1.二维随机变量在某区域上的概率与二重积分

二维随机变量联合概率密度函数中有条重要的性质：点（X，Y）落在xoy平面上G区域上的概率为P{（X，Y）∈G}= f（x，y）dxdy，因此求区域上的概率就是求区域上的二重积分，但是在积分时，我们除了要考虑积分区域G的范围，还要考虑到被积函数f（x，y）可能自身也有范围要求.

2.回顾区域上的二重积分

在教二维随机变量函数分布时，会用到大量二重积分的知识.首先要帮助学生回顾二重积分类型和方法，这样有助于学生知识的衔接，降低学习的难度.二重积分化为两次定积分的计算的关键是确定上下限，上限大于下限，内层积分上下限应为外层积分变量函数，外层的上下限应为常数.

3.和函数卷积公式的运用

除了上述两种情况外，两个线段再也没有交集，z的其他范围可以不用考虑，因此

4.商分布的教学

在商分布的概率密度函数推导的过程中，学生比较难看得懂，教师也觉得非常不好讲解.下面就求解过程详细分析，根据分布函数定义有

z<0的积分区域 z>0的积分区域

我们可以把Y/X=k看成直线y=kx的斜率，Y/X≤Z？圳K≤z，斜率k小于z（任意给定的实数），那么z的取值有两种：第一种z<0，如左图，k0时，如右图，k0时满足条件的范围如右图所示的区域，也是对于二维随机变量函数的分布函数的内容，更多的是和高等数学二重积分的内容紧密地联系在一起，由于学生对二重积分知识的渐忘，不熟悉，不确定，更增加了学习随机变量函数分布的难度，因此及时回顾相关的高数知识，再配以画图分析，帮助确定积分的上下限，可以大大降低知识理解难度，提高学生学习兴趣.

参考文献：

[1]茆诗松，程依明，濮晓龙.概率论与数理统计教程[M].（第二版）北京：高等教育出版社，2011.

[2]盛骤.概率论与数理统计[M].北京：高等教育出版社，2001.

[3]刘次华，万建平.概率论与数理统计[M].北京：高等教育出版社，2005.

此课题为南华大学2013年校级教改课题2013XJG59