“事件的互斥、互逆和独立性”的问题和思考

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“事件的互斥、互逆和独立性”的问题和思考

2022-03-04 08:38:52 | 浏览次数：

摘要事件的互斥、互逆和独立性是概率论中重要的基本概念，为了便于初学者很好地掌握这三个概念，本文力图从基本概念出发循序渐进地提出几个问题，以问答的形式展示出来。

关键词事件的互斥互逆独立性

中图分类号：G642 文献标识码：A

Problems and Thinking of "Events" Mutually Exclusive，

Reciprocal and Independence"

WANG Hongxia

（Statistical Institute of He"nan University of Economics and Law， Zhengzhou， He"nan 450002）

Abstract Mutually exclusive events， reciprocal and independence is an important basic probability theory concepts， in order to facilitate a good grasp of beginners these three concepts， this paper tries gradual departure from the basic concept raised several questions， in the form of quiz show come out.

Key words mutually exclusive events； reciprocal； independence

在概率论的教学实践中发现：很多初学者对“事件的互斥、互逆和独立性”的概念理解不透，经常将互斥和独立性搞混。为了便于大家更好地学习这部分知识，笔者力图从基本概念出发循序渐进地提出了几个问题，以问答的形式展示出来。这些问题不但涉及到基本概念，而且又有较全面的方法性问题，应该是初学者的疑难所在。

1 问题与解答

下面我们展示出在“事件的互斥、互逆和独立性”的学习中应该注意的几个问题。

问题（1）：事件的互斥、独立与独立性有何异同？

答：互斥是指任意两个事件间的一种关系，即若 = ，则称与互斥；互逆是指与之间的关系，即若 = ， = ，则称为互逆，并记 = 。两个事件与相互独立是由概率来定义的，即若（）= （）（），则称与相互独立。因此，若事件与互逆，则与一定互斥；反之不然。例如，以1，2，…，9这九个数中任取一数，记 = “取得偶数”， = “取得奇数”， = “取得1或3”，则与既互逆又互斥，但与互斥，而与并非互逆。另外，互斥和互逆与独立都没有直接关系。

问题（2）：若 = ，那么两两互斥吗？

答：否。两两互斥是指 = ， = ，并且 = 。但由 = 推不出上述等式成立。例如，掷一枚骰子，令 = “出现偶数点”， = “出现点数小于4”， = “出现奇数点”，则有 = ，但 ={2}≠ 。

问题（3）：若，，…，互斥，那么其中任意个事件互斥吗？

答：互斥。事实上，由互斥定义知：，，…，互斥，，…，两两互斥，，…，中个事件两两互斥这个事件互斥。

问题4：事件“都发生”与“都不发生”互逆吗？

答：否。 “都发生” = ，“都不发生” = 。由狄莫根定律：≠ = ，故事件与并非互逆。

例如，从1，2，…，9这九个数字中任取一数，样本空间 = {1，2，…，9}，记 = “取得偶数”， = “取得的倍数”，有 = {2，4，6，8}， = {3，6，9}。而 = {6}， = {1，3，5，7，9}{1，2，4，5，7，8} = {1，5，7}。故事件与不互逆。

问题（5）：事件“都发生”与“不都发生”互逆吗？

答：互逆。事实上，以上两事件可分别表示为及。故由狄莫根定律易知 = 。由此可知事件及互逆。

问题（6）：事件“至少发生一个”与“最多发生一个”互逆吗？

答：否。可以看出：“至少发生一个” = 。“最多发生一个” = 。故所述两事件不互逆。

问题（7）：若事件互逆，那么是否构成完备事件组？

答：构成。所谓，，…，构成完备事件组，当且仅当同时满足

因此，互逆构成完备事件组。

问题（8）：任意事件与不可能事件是否既互斥又独立？

答：是。因为 = ，所以与互斥，又（） = （） = 0 = （）（），因此与相互独立。

问题（9）：若与独立，与独立，那么与是否独立？

答：否。因为事件的独立不具有传递性。例如，掷一均匀骰子，令 = “出现偶数点”， = “出现点数小于3”， = “出现奇数点”，则有 = {2，4，6}， = {1，2}， = {1，3，5}， = {2}， = {1}， = 。于是（） = ，（） = ，（）（下转第57页）（上接第52页） = ，（） = ，（） = ，（） = 0。

从而可知（） = （）（），（） = （）（），（）≠（）（）。

这说明：独立且与独立，但与并不独立。由此，可以得知，事件两两独立只能与等价，而不能省略其中任何一个等式。

问题（10）：由个事件两两独立能否导出这个事件相互独立？

答：否。例如：一个均匀的四面体，有三个面各涂上红、黄、黑三种颜色，第四个面同时涂上三种颜色，投掷此四面体，观察底面的颜色。记 = “底面为红色”， = “底面为黄色”， = “底面为黑色”。易知（） = （） = （） = ；（） = （） = （） = ；（） = 。

可见，（） = （）（），（） = （）（），（） = （）（）。但（）≠（）（）（）。这说明两两独立，但是这三个事件不相互独立。

问题（11）：若（） = （）（）（），那么是否相互独立？

答：否。例如盒中有8张纸条，一张写1，两张写2，两张写3，一张写1、2，一张写1、3，最后一张写1、2、3。从中任取一张，记 = “得1”， = “得2”， =“得3”。显见（） = （） = （） = ，（） = = （）（）（）。

然而，（） = ≠ = （）（）。

注：问题（10）和问题（11）说明：三个事件相互独立，等价于下面四个等式同时成立：。

对于多个事件的独立性也是如此。

2 结束语

“事件的互斥、互逆与独立性”历来是概率论教学中的重点和难点部分。学好此部分内容可以为其它概率的学习奠定基础，同时有利于理解概率的概念，有利于计算一些事件的概率，有利于解释生活中的一些问题。概率教学的核心问题是让学生了解随机事件与概率的意义，加强与实际生活的联系，以科学的态度评价身边的一些随机现象。