有损耗左手材料电波传播特性的FDTD分析

摘 要:为研究电磁波在有损耗左手材料中的传播特性,采用时域有限差分(FDTD)法和色散媒质的Drude模型,推导出基于Drude模型的左手材料二维FDTD迭代方程。一维数值仿真结果验证了平面电磁波在穿过有耗左手材料时,其相速度大小与光速相同,方向与传播方向相反,且随着损耗因子的增大,左手材料内的电场强度幅值亦相应减小。此外,还利用多循环m-n-m脉冲作为激励源,对左手材料平板具有的完美透镜现象进行了二维数值仿真验证。结果表明,有耗平板左手材料具有明显的聚焦效果,在特定条件下能实现完美成像。关键词: 左手材料; Drude模型; 时域有限差分法; 电波传播

中图分类号:TP011文献标识码:A

文章编号:1004-373X(2010)15-0063-04

Analysis of Electromagnetic Wave Propagation Characteristic in Lossy LHM by FDTD Method

ZENG Wen-bo, ZHAO Jia

(Electronics Information & Controlling Department, Guangxi University of Technology, Liuzhou 545006, China)

Abstract: The Drude-based two dimensional FDTD iterative equations in LHM were deduced by FDTD method and the dispersive Drude model in order to study propagation characteristic of electromagnetic wave in left-handed materials (LHM). One-dimensional simulation results show that the phase velocity of a plane electromagnetic wave propagating inside a LHM is equal to the velocity of the light while the direction is converse, and the amplitude of electric field is reduced with the increase of loss factor. Furthermore, a LHM slab illuminated with a multiple cycle m-n-m pulses source is showed to have an obvious focusing effect, and can produce a perfect focus in and outside the slab under specific condition.Keywords: left-handed materials; Drude model; FDTD method; electromagnetic wave propagation

0 引 言

物理学中,介电常数ε和磁导率μ是描述介质中电磁场性质最基本的两个物理量。在已知的物质世界中,对于普通的电介质而言,介电常数ε和磁导率μ都为正值,电场、磁场与波矢三者构成右手螺旋关系,这样的物质被称为右手材料(Right-Handed Materials,RHM)。所谓的左手材料(Left-Handed Materials,LHM)是指介电常数ε和磁导率μ同时为负的介质材料,也常被称为双负介质(Double Negative Materials,DNG),其特点是电场、磁场与波矢三者构成左手螺旋关系。左手材料是近年来国际物理学和电磁学的一个研究热点,其概念最初由前苏联物理学家 Veselago 于1968年提出并做了大量的理论性研究,指出了左手材料具有诸如负折射效应、逆多普勒效应等许多奇异的电磁特性[1],但由于自然界中没能发现ε和μ同时为负数的介质材料存在,所以他的研究结果在很长一段时间一直没有得到实验验证,也没能激起人们更多的兴趣。1999年,英国皇家学院Pendry等人相续提出了用周期性排列的金属棒和开口金属谐振环可以在微波波段分别产生等效负介电常数和等效负磁导率的思路,并提出了左手材料具有“完美透镜”特性的概念[2]。2001年,美国加州大学圣迭哥分校物理学家Smith教授等人首次成功地通过人工方法构造出了这种自然界中并不存在的材料,并且利用此介质进行了电波传播实验,通过实验观察到了负折射等一系列左手材料中电波传播的特殊现象[3]。这些研究成果在国际上引起了很大的反响,激起了更多学者对左手材料在各个领域可能产生的应用前景进行了深入的思考和研究,而电磁波在该材料中的传播特性显然是研究的重要课题。

目前,物理光学方法、矩量法、时域有限差分法(FDTD)、高低频混合方法等各种数值分析方法纷纷被用来仿真和分析左手材料中电磁波的传播特性[4-5],其中,时域有限差分法(FDTD)特别是基于Drude模型的FDTD方法是比较方便和有效的一种[3,6]。但在以往的研究当中,出于典型和计算方便等原因,常常在 Drude模型中将左手材料的损耗因子设为0,这显然不完全符合实际情况。本文在建立有损耗左手材料Drude模型的基础上,推导了其FDTD算式,并在不同损耗因子情况下,对LHM模型中TM波传播的基本特性进行了数值仿真。结果表明,有损耗LHM内TM波传播的方向、相速度方向等特性与无损耗LHM情况一样,TM波在进入有损耗LHM后,电场幅度会衰减至边界值的1/1-n。此外,有损耗LHM平板也能对点源信号进行聚焦,但其聚焦效果随着损耗因子、平板厚度及波源到平板的距离改变而变化。

1 有损耗LHM的Drude模型

由于左手材料具有负的折射率,必然存在色散与吸收,因此,在利用FDTD仿真分析左手材料时,为避免上述提到的数值发散现象,一种基于等离子体概念,能对左手材料的介电常数ε及磁导率μ进行间接设置的所谓Drude模型得到了广泛的采用。在Drude模型里,左手材料的相对介电常数和相对磁导率可表示为[4,7]:

εr=ε∞-ω2eω2+Γejω

μr=μ∞-ω2mω2+Γmjω(1)

式中:ε∞为直流相对介电常数;ωe为电等离子体的频率;Γe为电碰撞系数;ωm磁等离子体的频率;Γm为磁碰撞系数;Γe和Γm代表的是材料的损耗因子,为得到理想无损耗的左手材料模型,只要令Γe=Γm=0即可。

利用式(1)可以方便求取左手材料的折射率。为了简化分析,令ε∞=μ∞=1,ωe=ωm=ωρ,Γe=Γm=Γ,此时折射率可表示为:

n=εrμr=1-ω2ρω2+Γ2+jΓω2ρω3+ωΓ2

式中:ω=2πf为入射波角频率。由于Γ代表左手材料的损耗因子,其值通常为10-8~10-9数量级[8],在本文所研究的30 GHz频率波段,显然有ωГ,由此进一步推导可知上式的虚部趋0,折射率只剩下实部,并可化简为:

n(ω)≈1-ω2ρ/ω2(2)

所以,尽管在Drude模型中,折射率n(ω)为一复数,但在一定的频率和损耗因子条件下,左手材料折射率n(ω)可近似为一实数,合理地对Drude模型中的各参数进行设置,可以得到折射率为不同负实数值的左手材料。

1.1 有耗LHM模型的FDTD算式

考虑本构关系:D=εrε0E,B=μrμ0 H和极化电流密度J、极化磁流密度K,并采用变换/t-jω后,可得出左手材料广义Maxwell方程的时域形式:

×H=ε0ε∞Et+J

×E=-μ0μ∞Ht-K

ε0ω2eE=Jt+ΓeJ

μ0ωmH=Kt+ΓmK(3)

基于简单和典型的考虑,本文主要分析和推导二维TM波情况。在此情况下,/z=0且Hz=Ex=Ey=0。构造Drude模型下二维TM波YEE元胞,用中心差分代替偏微分,将Durde模型εr和μr表达式代入并做整理,可得出二维TM波Drude色散媒质模型的FDTD算式。其中,Ez和Jz的表达式如下:



Enz(i,j,k+12)=Enz(i,j,k+12)+ΔtεΔx•

Hn+1y(i+12,j,k+12)-Hn+12y(i-12,j,k+12)-

ΔtεΔyHn+1x(i,j+12,k+12)-Hn+12x(i,j-12,k+12)

+ΔtεJnz(i,j,k+12)Jn+1z(i,j,k+12)=

2-ΔtΓe2+ΔtΓeJn+1z(i,j,k+12)+2Δtω2eε02+ΔtΓeEnz(i,j,k+12)(4)



1.2 Drude模型的PML边界条件

在FDTD 算法中,为了在有限的时间和有限的计算机存储容量下模拟电磁波在无限大空间的传播,必须在FDTD模型中把网格截断,使网格空间成为有限。然而,为了减少误差在计算中,必须用某种合理的算法去模拟这种截断,即设置边界条件。目前,基于在截断边界处设置假想的可吸收入射波材料思路的FDTD边界条件,即完美匹配层(PML)边界条件,由于其计算的精确性得到了广泛的应用。在Drude模型下的PML层里,对于TM波,把电场Ez分解为两个子分量Ezx和Ezy,并且Ez=Ezx+Ezy,由PML层中TM波的Maxwell方程可得:

μ0Hxt+Kx+σmyHx=-(Ezx+Ezy)y

μ0Hyt+Ky+σmxHy=-(Ezx+Ezy)x

ε0Ezxt+Jzx+σxEzx=Hyx

ε0Ezyt+Jzy+σyEzy=Hxy(5)

并且:

Kxt=μ0ω2mHx,Kyt=μ0ω2mHy

Jzxt=ε0ω2eEzx,Jzyt=ε0ω2eEzy(6)

将以上频域方程转为时域方程,并进行差分离散,即得Drude模型的PML边界条件算式。

2 算例仿真结果与分析

2.1 损耗因子及折射率的影响

为简化分析,首先仿真一维情况。采用Matlab工具软件,用M语言编程,仿真一束频率f=30 GHz的平面电磁波垂直入射到无限大左手平板材料的情况。FDTD建模过程如下:一维空间被划分为x方向的200个网格,其中,在(100~150)Δx的区域放置无限大LHM平板。为保证迭代的收敛,时间步长Δt(单位:s)和空间步长Δx(单位:m)的选择必须满足Cournant稳定性条件,实际运算时取:

Δx=λ/100=10-4

Δt=Δx2C=1.67×10-13

平面波激励源放置于LHM平板左侧20Δx处,采用PML边界条件,运算总时间步数取2 000。

为得到n=-1的典型左手材料,在Drude模型中选择ε∞=μ∞=1,等离子体角频率取ωe=ωm=ωρ=2ω即可。图1、图2分别给出了在以上条件下,当LHM的损耗因子分别取Γe=Γm=10-6和Γe=Γm=10-9,程序运算到1 000步时Ez的瞬时值图。

图1 Гe=Гm=10-6,运行到1 000步时Ez的瞬时值图

图2 Гe=Гm=10-9,运行到1 000步时Ez的瞬时值图

从程序运行过程明显观察到:

(1) 在波源右侧的真空内,Ez的波峰随时间是向右推进的,表明真空中电磁波的相速度与能流密度传播方向一致。在有耗LHM平板内,Ez的波峰随时间向左推进,与传播方向相反,表明电磁波在有耗LHM内相速度为负值;

(2) 从图1和图2可以观察到,Ez波形在LHM和RHM两种材料分界面出现了尖点,这是因为Ez在边界上需要满足切向分量相等的边界条件,而电磁波在两种材料中的相速度方向相反造成的。这些结论与Smith等人在文献[3]中的分析及文献[4,9]等文献的结果相似。

对比图1和图2,随着损耗因子的增大,LHM内电场强度的振幅变小,且随传播距离的增加而衰减,这个结论与文献[5]的仿真结果正好相反。事实上,对于色散介质,其内部磁场能量密度为:

w=we+wm=(εω)ωE2+(μω)ωHz

将Drude模型的关系式(1)、式(2)代入并考虑:

μ∞=ε∞=1,Γe=Γm=Γ,ωe=ωm=ωρ=1-nω,可得:

w=1-n(E2+H2)(7)

而在RHM材料中,始终有:

w=E2+H2

显然,要保证能量守恒,LHM材料中的场值应该是RHM中场值的1/1-n倍,因此,进入LHM的电波强度就会受到了抑制。

根据式(2),改变ωρ,还可得到不同折射率的LHM。图3和图4给出了固定损耗因子Γe=Γm=10-6而折射率分别为n=0和n=-6时,电场瞬时值的仿真图。

图3 Гe=Гm=10-6,n=0时Ez的瞬时值图

从图3看到,Ez在零折射率材料内几乎是一条直线,这表明电磁波在零折射率LHM中传播时,其相位是不发生变化的。图4则显示在n=-6的LHM内,其内部的场值是外部RHM场值的1/7倍,这与式(3)推出的结论一致。

图4 Гe=Гm=10-6,n=-6时Ez的瞬时值图

2.2 二维仿真

仿真一束频率f=30 GHz的波束垂直入射到有耗LHM平板的情况。二维空间被划分为600Δx×800Δy个YEE网格,取Δx=Δy= 10-4 m,Δt=1.67×10-13 s。激励源位于平板正上方[400,700]位置,LHM平板置于x=[0,800],y=[220,420]的网格区域内,其厚度与其上表面到波源的距离相等,均为200Δx=2λ0,边界上采用三层PML匹配层,厚度取10Δx,采用TM波多循环m-n-m脉冲[6]为激励源。对式(4)决定的FDTD算式用Matlab工具软件编程计算。取ωe=ωm=ωρ=2ω,相应的折射率n=-1,加入耗散因子Γe=Γm=10-8 ,运算总时间步数为8 000。图5是运算时间步N=3 100时,电场Ez的伪彩色显示图。从该图明显看到:

(1) 电磁波的等相位面在LHM的内外是不同的,表明在LHM内电磁波相速度与传播方向相反,这与一维仿真结论一致;

(2) 在LHM内部,逐渐发散的电磁波又被重新聚集起来,最终在LHM内形成一个焦点,这个现象显然支持LHM的负折射理论;

(3) 在LHM另一侧的真空中,TM波再次出现了明显的聚焦现象。

以上仿真结果与J.B Pendry 等人在文献[2-3,6]中提到的左手材料具有“完美透镜”特性及能实现“二次聚焦”等结论相吻合。

图5 时间步N=3 100时二次聚焦现象

进一步的仿真研究还表明,以上“二次聚焦”现象并不是在任何情况下都会产生的,损耗因子、LHM平板厚度以及折射率的改变,都会影响LHM对电磁波的汇聚效果。当保持激励源至LHM表面的距离不变,而LHM的厚度由2λ0减少至只有一个λ0时,LHM内的焦点将消失。而逐渐改变折射率,例如折射率由-1逐渐朝负方向变至-2时,在LHM内的焦点也由一个明显的焦点变成一个光斑,而光斑最后也将消失,但电磁波在LHM的轴线上仍有明显的聚焦效应。

3 结 语

在Drude模型下,采用时域有限差分法,对电磁波在穿过有损耗左手材料时的基本特性做了一定的仿真研究。一维数值仿真结果表明,电磁波在经过有损耗左手材料时,其相速度大小与光速相同,而传播方向则与电磁波传播的方向相反。同时,在边界处,LHM内的电场强度幅度是RHM内的1/1-n倍,而TM波在零折射率材料中传播时,其相位是不发生变化的,随着损耗因子的增大,LHM材料内场的电场强度减弱。此外,二维数值仿真结果验证了平板左手材料具有类似普通右手材料凸透镜的聚焦效果,在特定条件下,平板左手材料能实现二次聚焦。这些仿真结果既支持了相关文献的理论和结果,同时也验证了方法的可行性,对左手材料的理解和进一步研究提供了一定的参考。

参考文献

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