实数完备性定理之间的一个循环推导
【摘 要】极限理论是数学分析的基石，而实数完备性定理又是极限理论的基本理论[1-2]。本文给出了实数完备性六个基本定理的一个循环证明，通过对这六个基本定理的推导可以启发学生对数学分析的理解和提高学习兴趣。
【关键词】實数；确界；完备性；柯西收敛
1 实数完备性定理[1-2]
实数完备性的表述通常有六个定理，本文将给出这六个定理之间的一个循环推导。六个命题表述如下：
命题1（确界存在定理）设S为非空数集。若S有上（下）界，则S必有上（下）确界。
命题2（单调有界定理）在实数系中，有界的单调数列必有极限。
命题3（区间套定理）若{[an，bn]}是一区间套，则存在唯一点ξ，使得
ξ∈[an，bn]，n=1，2，…
命题4（有限覆盖定理）设H为闭区间[a，b]的一个开覆盖， 则在H中必存在有限个开区间来覆盖[a，b]。
命题5（聚点定理）实轴上的任一有界无限点集S至少有一个聚点。
命题6（柯西收敛准则）数列{an}收敛的充要条件是：对任给的ε>0，存在正整数N，使得当n，m>N时有|an-am|<ε。
2 一个循环证明[3]
命题1
证明：详见文献[1]中第二章定理2.9（第35页）。
命题2？圯命题3
证明：由于a1≤a2≤…≤an≤…≤bn≤…≤b2≤b1而且{an}为单调递增的有界数列，依据命题2，{an}有极限ξ，且有
an≤ξ，n=1，2，….（1）
同理，单调递减的有界数列{bn}也有极限，并且根据区间套的条件 （bn-an）=0有 b = a =ξ，且
bn≥ξ，n=1，2，….（2）
联合（1-2）式，即得an≤ξ≤bn，n=1，2，….
最后证明ξ是唯一的。不妨设ξ"也满足
an≤ξ≤bn，n=1，2，….
则有
|ξ-ξ"|≤bn-an，n=1，2，….
由区间套的定义得
|ξ-ξ"|≤ （bn-an）=0，
故有ξ"=ξ。
命题3
证明：可参见文献[1]中第七章定理7.3（第165页）。
命题4
证明：设E为有界无穷点集，因此存在M>0，使得E？奂[-M，+M]。由闭区间的聚点均含于该闭区间，故若有聚点，必含于[-M，+M]。
反证法：若E无聚点，即[-M，+M]中任何一点都不是E的聚点，则对于？坌x∈[-M，+M]，必有相应的δx>0，使得U（x；δx）内至少只有点x∈E（若x？埸E，则U（x；δx）中不含E中之点）。所有这些领域的全体形成[-M，+M]的一个无限开覆盖：
H={（x-δx，x+δx）|x∈[-M，+M]}.
由命题4知，H中可以找到有限个开区间来覆盖[-M，+M]。记
为[-M，+M]的一个有限开覆盖，则 也能覆盖E。由U（x；δx）的构造含意知， 中N个领域至多有N个点属于E，这与E为无穷点集相矛盾。因此，在[-M，+M]内一定有E的聚点。证毕。
命题5
证明：必要性：若数列{an}收敛，则对任给的ε>0，存在N>0，使得对m，n>N有|am-an|<ε。
设 an=A，由数列极限定义知，对？坌ε>0，？埚N>0，当m，n>N时，有
|am-A|< ，|an-A|< ，
因而|am-an|≤|am-A|+|an-A|< + =ε。
充分性：若对任给的ε>0，存在N>0，使得对m，n>N有|am-an|<ε，则 an=A。
（i）对于ε0=1，存在N0>0，使得对m，n>N0时，有
|am-an|<ε0=1，即am-1 取m=N0+1，n>N0则 a -1 记M=max{|a1|，|a2|，…，|a |，|a -1|，|a +1|}， 则对于？坌n∈N+，有|an|≤M，即{an}为有界数列。 （ii）由命题5推论知，有界数列必含有收敛子列，故{an}必有收敛子列{a }。记 a =A. （iii）由柯西条件知，对于？坌ε>0，？埚N1>0，当m，n>N1时，有 |am-an|< . 而由于 a =A，？埚N2>0，当m，n>N2时，有 |a -A|< . 取N=max{N1，N2}，择当m，n，k>N时，有 |am-an|< ，|a -A|< . 故|an-A|=|an-a +a -an|≤|an-a |+|a -an|< + =ε. 即有 an=A。证毕。 命题6 证明：可以参见文献[1]中第七章第一节例题1（第167页）。 3 小结 上述实数完备性六个基本定理的一个循环证明，是根据笔者根据文献[1]中给出的思路而整理归纳的。并且据我们所知，这七个基本定理（再加上致密性定理）是彼此等价的，因为从其中的任何一个均可推导出其余六个，此处仅是其中的一种证法。 【参考文献】 [1]华东师范大学数学系，数学分析（上册，第三版）[M].北京：高等教育出版社，2004. [2]复旦大学数学系陈传璋等，数学分析（上册，第二版）[M].北京：高等教育出版社，1987. [3]谢惠民，等，数学分析习题课讲义（上册）[M].北京：高等教育出版社，2003. [责任编辑：朱丽娜]
