辅助函数的构造方法

【摘 要】本文辅助函数构造法是数学学习的一个较为常用的方法。通过应用构造法解决一些数学分析中的问题，向大学生介绍了构造辅助函数这一基本数学思想。本文通过实例就此问题进行归纳，总结出利用函数的图象、形态、微分方程及综合分析等方法来构造辅助函数。

【关键词】辅助函数；构造法；创建方法

【Abstract】This article by using auxiliary function construction is a common method of maths study. We have solved some problems belonging to the maths analysis and define the basic idea of constructing an assistant function to university students. This article has summarized through this example that we can construct a function by a function’s image. from difference equation and comprehensive analysis.

【Key words】Maths proposition；Assistant function；Creating methods

在中学时，我们就已经接触了构造辅助函数法，并使用它去解决某些问题。构造辅助函数法体现了一种数学基本思想，一种解题技巧。用构造辅助函数法解题，能达到直观形象，简洁明快的效果。构造辅助函数法的使用，需要以我们已有的知识作为基础，要求我们充分展开联想，灵活运用所学知识。

构造辅助函数法这一思想在我们现在学的数学分析中运用十分普遍，我们运用它来证明某些定理不等式，进行某些计算，将一些复杂的问题简单的解决了。下面我们来看看用构造辅助法解决的一些具体的问题。

1 几何直观法证明中值定理

定理1（拉格朗日中值定理）若函数f（x）满足：

（ⅰ）f在闭区间[a，b]上连续；

（ⅱ）f在开区间（a，b）内可导；

于是，原命题成立

方法归纳：用单调性分析证明函数不等式可通过移项将不等式化为大于0（或小于0）的形式来构造辅助函数，但应注意以下几点：

1）为使求导后的函数f ′（x）较简单，有时对原不等式作适当变形；

2）有时需多次求导；

3）在证明含有两个变量的不等式时，可以把其中的一个当作变量，而另一个当作常数，使问题化为一个变量的函数不等式的证明。

我们再来看看下面例子：

例 设b>a>e，证明ab>ba。

分析：所给不等式为幂指数形式，可先两边取对数

由于b>a>e

所以ab>ba等价于blna>alnb

考察F（x）=xlna-alnx

若x>a>e时，能推知F（x）单调增加，则命题得证。

证：令F（x）=xlna-xlnb（x>0）

4 小结

用构造辅助函数法解题，关键是如何去构造辅助函数，而这个辅助函数能使问题简化，对我们掌握的知识的灵活性比较高，“冰冻三迟非一日之寒”。也就是说还是要靠我们平时的积累。一般来说我们可以从三个方面来思考：

1）数形结合思想，象中值定理的证明过程中，我们根据其几何意义构造一个切线方程，问题得到解决。

2）观察题目中函数结构，象上面例题中出现过的构造辅助函数讨论方程的根中，就是根据面积关系函数的结构，构造辅助函数的。构造合理的辅助函数才能使问题简化，才能达到我们借助辅助函数解题的意义。

3）逆向思维 象中值定理的证明中，我们可以从要证明的想起，从结果中的隐性条件，结合已知函数结构构造辅助函数，我们想要证明：

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[责任编辑：薛俊歌]