数学教学中不定积分概念的辨析

2022-03-04 10:15:58 | 浏览次数：

【摘要】本文旨在澄清一个数学概念，即“不定积分”是一个不确定的个体函数，不是群体函数.

【关键词】高等数学；一元微积分；不定积分；概念

在学习高等数学一元微积分的内容时，面对各种版本的数学教材，关于“不定积分”这个数学概念的解释，让人感到困惑.各种教材对不定积分的解释大致分为两类.第一类观点认为：不定积分是一个不确定的个体函数，是一个其导数都相同的、一族函数的代表.第二种观点则认为：不定积分是具有相同导数的一群函数，是一个函数集合.本人赞同第一类观点，目前持这种观点的高等数学教材仅占少数，而多数教材则持有第二种观点.

一、各种教材对不定积分的解释

（一）“不定积分是一个不确定的个体函数”的观点

有一类观点认为：不定积分是一个不确定的个体函数，是一个其导数都相同的、一族函数的代表.这种观点体现在下列各教材中：

如，1988年4月高等教育出版社出版的同济大学数学教研室主编的《高等数学》（第三版）上册第231面“定义2 在区间I内，函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)（或f(x)dx）在区间I内的不定积分，记作∫f(x)dx.不定积分∫f(x)dx可以表示f(x)的任意一个原函数”.

定义函数f(x)的原函数的一般表达式称为f(x)的不定积分，记为∫f(x)dx.

又如，2005年4月高等教育出版社出版的常州轻工职业技术学院冯宁主编的《高等数学》第86面“……任一原函数都可表达为F(x)+C的形式，即原函数的全体由形如F(x)+C的函数组成（C为任意常数）”.

定义2 若F(x)是f(x)在区间I内的一个原函数，则F(x)+C（C为任意常数）称为f(x)在该区间内的不定积分，记作∫f(x)dx，即∫f(x)dx=F(x)+C.

再如，2008年6月国防科技大学出版社出版的郑桂梅主编的《高等数学》第102面“……定义2 函数f(x)的原函数的一般表达形式F(x)+C的形式称为f(x)的不定积分，记为∫f(x)dx”.

（二）“不定积分是具有相同导数的一群函数”的观点

对于不定积分解释的另一种观点则认为：不定积分是一群函数，是具有相同导数的一群函数，是一个函数集合.在相当多的数学教材中对不定积分持有该种观点.现列举如下.

1978年5月人民教育出版社再次印刷出版的、樊映川等编写的第二版《高等数学讲义》（上册）第328面（第七章）不定积分的定义“函数f(x)的所有原函数的全体叫做函数f(x)的不定积分，记作∫f(x)dx”.

1980年10月辽宁人民出版社出版的、［日］田岛一郎、渡部隆一、宫崎浩（编）著的第一版《微分积分》第三章（第101面）“f(x)的原函数的全体的集合叫做f(x)的不定积分，记作∫f(x)dx”.

1988年5月高等教育出版社出版的、李志熙等编写的第一版《经济数学基础微积分》第五章（第156面）“定义5.2 函数f(x)的全部原函数叫做f(x)的不定积分，记为∫f(x)dx”.

1990年4月南京大学出版社出版的、许绍溥等编写的《数学分析教程》（上册）第6章（第277面）“f(x)的全体原函数称为它的不定积分，记为∫f(x)dx”.

1991年10月复旦大学出版社出版的、欧阳光中、姚允龙编写的《数学分析》（上册）第九章（第222面）不定积分的定义“定义2 f的原函数全体F+C，记为∫f(x)dx”.

1993年1月蓝天出版社出版的、高等专科学校金融类教材《微积分》第五章（第163面）“定义5.2 函数f(x)的全体原函数称为f(x)的不定积分，记为∫f(x)dx”.

1994年10月高等教育出版社出版的、刘玉琏主编的第二版《数学分析》（上册）第七章（第280面）“定义2 若函数f(x)在区间I存在原函数F(x)，则所有原函数F(x)+C，C∈R,称为函数f(x)的不定积分，表为∫f(x)dx=F(x)+C（C∈R）”.

2003年1月对外经济贸易大学出版社出版的、董玺印等编著的“211工程”系列教材（第二版）《微积分》第三章（第185面）“定义3.2 如果已知函数f(x)在某区间D上存在原函数，则称f(x)在区间D上的所有原函数为f(x)在区间D上的不定积分，记做∫f(x)dx(x∈D)…….在理解这一定义时，我们应当注意以下几点：第一，不定积分是被积函数的所有原函数.因此是个集合概念……”.

2005年4月高等教育出版社出版的、曾文斗主编的新世纪高等职业教育文化基础课程教材《经济数学》（少学时）第五章（第85面）“定义5.3 函数f(x)的全部原函数称为f(x)的不定积分，记作∫f(x)dx”.

2005年11月高等教育出版社出版的（第9次印刷）、面向21世纪课程教材《大学文科数学》（第84面）“定义2 f(x)在区间I上的全体原函数称为f(x)在I上的不定积分，记为∫f(x)dx”.

2006年7月西南师范大学出版社出版的、全国高职计算机专业教材《高等应用数学》（第58面）“定义4.2 如果函数F(x)是函数f(x)的一个原函数，则称f(x)的全体原函数F(x)+C（C为任意常数）为f(x)的不定积分，记作∫f(x)dx，即∫f(x)dx=F(x)+C”.

2007年6月中国铁道出版社出版的、张锦麟、时晓文主编的（高职高专“十一五”规划教材）《高等数学》（第86面）“定义2 函数f(x)的全体原函数的集合称为f(x)的不定积分，记为∫f(x)dx”.

2007年6月机械工业出版社出版的，普通高等教育“十一五”国家级规划教材、高职高专公共基础课规划教材《应用数学基础》（第94面）“定义2 如果F(x)是f(x)的一个原函数，那么f(x)的全部原函数F(x)+C称为f(x)的不定积分，记作∫f(x)dx，即∫f(x)dx=F(x)+C”.

2008年4月机械工业出版社出版的、方晓华主编的普通高等教育“十一五”国家级规划教材《高等数学》（理工科用）（第二版）（第64面）“定义2 如果F(x)是f(x)的一个原函数，那么f(x)的所有原函数F(x)+C叫做f(x)的不定积分，记作∫f(x)dx”.

2008年6月化学工业出版社出版的、曹瑞成、姜海勤主编的（高职高专“十一五”规划教材）《高等数学》（第90面）“定义4.2 设F(x)为f(x)在区间I上的一个原函数，那么f(x)在区间I上的所有原函数F(x)+C（C为任意常数）称为f(x)在区间I上的不定积分，记作∫f(x)dx”.

2008年4月北京交通大学出版社出版的、赵红革、颜勇主编的《高等数学》（第95面）“定义4.2 设函数F(x)是f(x)的一个原函数，则f(x)的所有原函数F(x)+C称为f(x)的不定积分，记作∫f(x)dx”.

2010年8月国防工业出版社出版的、丁匡平主编的《应用高等数学》（第75面）“定义2 函数f(x)在某区间I内的全部原函数称为f(x)在区间I内的不定积分，记作∫f(x)dx=F(x)+C”.

二、本人持有的观点及其论述

对于上述两类观点，本人赞同“不定积分是一个不确定的个体函数，是一个其导数都相同的、一族函数的代表”的观点.本人认为：在某区间I上，若导数F′(x)=f(x)，取C为任意实数，则原函数F(x)与不定积分∫f(x)dx（=F(x)+C）在区间I上都是函数f(x)的一个原函数.原函数F(x)与不定积分∫f(x)dx（=F(x)+C）的关系不是个体与群体（全体）的关系，而是两者都是个体.原函数F(x)是一个确定的个体函数，而由于任意实数C的不确定性，不定积分F(x)+C则是一个不确定的个体函数.

高等数学作为向学生传授数学知识的一门重要的基础课程，而不定积分作为微积分学的一个重要的数学概念，在高等数学的教材中，尤其是在一些国家级规划数学教材中，对不定积分更应该强化其数学概念上的精准性和严密性.数学界对不定积分应有一个统一和正确的定义和解释.

【参考文献】

［1］同济大学数学教研室.高等数学（第三版）上册［M］.高等教育出版社，1988:231.

［2］冯宁.高等数学［M］.高等教育出版社，2005:86.

［3］樊映川.高等数学讲义（第二版）上册［M］.人民教育出版社，1978:328.

［4］［日］田岛一郎,渡部隆一,宫崎浩.微分积分（第一版）［M］.辽宁人民出版社，1980:101.

［5］许绍溥，等.数学分析教程（上册）［M］.南京大学出版社，1990:277.

［6］刘玉琏.数学分析（第二版）上册［M］.高等教育出版社，1994:280.

［7］董玺印等.微积分（第二版）［M］.对外经济贸易大学出版社，2003:185.

［8］曹瑞成,姜海勤.高等数学（高职高专“十一五”规划教材）［M］.化学工业出版社，2008:90.

［9］郑桂梅.高等数学［M］.国防科技大学出版社，2008:102.

［10］方晓华.高等数学（理工科用）（第二版）［M］.机械工业出版社，2008:64.