由蒲丰投针想到的数学教学问题

大学数学教师所面临的困惑和学生的无所适从。而作为一线的教师如何为激活大学数学课堂，提高课堂效率，培养学生的创新能力，学科交叉教学不能不说是一种行之有效的方法。

【关键词】蒲丰投针；学科交叉教学；概率；创新

1 蒲丰投针问题

1777年法国科学家Buffon提出下列著名问题：

（投针问题）平面上画着一些平行线，它们之间的距离都等于 ，向此平面任投一长度为 （ ）的针，试求此针与任一平行线相交的概率。

解：设 表示针落下后针的中点 到最近的一条平行线的距离， 表示针与平行线所成的角（见下图1），则

.

而针与一直线相交的充要条件是 。

作一分别以 为横轴和纵轴的平面直角坐标系，则所有基本事件可以用边长为 及 的矩形 内的点表示出来（如图2），而“针与直线相交”这一事件所包含的基本事件可以用图2中 内的点表示出来，因而，所求概率

.

假设这一试验总共做了 次，而针与平行线相交的次数是 ，则当 较大时，可以用相交的频率 去近似概率 ，即。从而由上式又可以进一步得到。也就是说我们可以通过这样的试验得到圆周率 的近似值。

历史上就有很多人曾做过这样的试验去推导 的值。不过直到目前为止，用这种方法得到最好的 值就是意大利人拉泽里尼（Lazzerini）作了3408次投针，给出 的值为3.1415929——准确到小数点后六位。他的试验结果比其他试验者得到的结果准确多了，甚至受到了美国韦伯大学的一位教授L·巴杰的质疑。

不过，蒲丰试验的重要性并非是为了求得比其他方法更精确的 值，而在于它是第一个用几何形式表达概率问题的例子。这种首次使用随机试验处理确定性数学问题，为概率论的发展起到一定的推动作用。计算 值的这一方法，不但因其新颖、奇妙而让人叫绝，而且他开创了使用随机数处理确定性数学问题的先河，是用偶然性方法去解决确定性计算的前导。这种方法被称为蒙特卡罗方法（Monte Carlo method）。蒙特卡罗方法是在第二次世界大战期间随着计算机的诞生而兴起和发展起来的。这种方法在应用物理、原子弹、固体物理、化学、生态学、社会学以及经济行为等领域中得到广泛应用。

2 由蒲丰投针引发的对大学数学教育教学的思考

长期以来，对我国中小学生在数学方面的成绩，我们都有一种由衷的自豪感。然而，很多学生步入大学以后就对数学产生一种恐惧感，尤其是大一第一学期高数就挂科更是成为很多学生的梦魇。是因为我们教师教学的投入不足，还是因为我们从初高中知识到大学数学跨度太大？带着这样的疑问，北京师范大学数学科学学院郇中丹教授与王昆扬教授和刘永平教授一起将自己大部分精力投入到本科的教学工作中。

北京师范大学数学专业的学生都是经过十分严格选拔的，且有80%以上的学生表示他们热爱数学，将来立志从事数学。真可谓是教师尽心，学生竭力的师生队伍。郇中丹教授经过八年的潜心研究，他发现有五种令人困惑的现象很难纠正和克服。其中一条就是“学生只会背，不会甚至不敢去自己探索；没有触类旁通的能力，对于需要自己利用已有知识进行逻辑推理之类的问题，感觉十分吃力，难以承受。”

许多同行工作者又何尝不是有这样的困惑呢？对于这样的问题，作为一线的任课教师，我们不妨可以好好回味一下蒲丰投针这个试验。

蒲丰投针本身是一个要求概率的问题，可是却用几何知识巧妙地解决了，并且还由此产生了蒙特卡罗方法，在很多领域中都有广泛的应用。这事实上就是知识交叉融合的力量！

大学数学知识本身有一定的深度，甚至比较抽象难懂。但对大多数理工科专业学生来说，数学是一门工具，只有学好了才能够用这一工具解决自己的专业知识，所以数学又是一门基础课。对这样一块必啃的硬骨头学生如何去学，教师又如何去教呢？

由蒲丰投针试验，我想到了学科交叉教学。学科交叉教学就是在对某单一学科教学的基础上联系其他不同学科领域、部门和分支学科进行相互理解、相互作用、彼此融合，从而达到对知识更加深入细致的理解和学习。

例如，在数学与应用数学专业的高等代数课堂上，时常会碰到求解 元齐次线性方程组最小二乘解的问题，教师引导学生至少可以结合两门不同的学科去解决。一是代数与几何的交叉融合，可以把问题转化成寻求一个向量使得它到一个 维线性空间距离最短。二是代数与数学分析的交叉，又可以把问题转化成多元函数求极值，利用数学分析中的相关定理一样可以完美解决。再例如，无论是在高等数学还是在数学分析的课程中都会学到不定积分的运算，结合高等代数中线性变换的理论，可以用逆矩阵的方法求一个不定积分。像这样的例子听起来是不是又有了“蒲丰投针”的感觉，令人拍案叫绝呢？！

岂止这些？像这样的例子在我们的大学数学中比比皆是。比如概率论中多维随机变量的理论可以借助代数中矩阵这一工具高效的解决问题；数学和计算机的交叉融合使得这两个学科的发展堪称是“比翼双飞”；数学借助各种软件的力量使得问题程序化，图形清晰化，抽象具体化等等。我们结合我们学生自身的特点，在大学数学课堂上进行这种教学尝试后，发现课堂气氛明显活跃起来，学生的思维也更加积极，学习兴趣更加浓厚，对知识的掌握也更加牢固，理解也更加全面。这样的课堂是充满活力的课堂，是具有创造力的课堂！

学科交叉不仅仅能够让学生有效地掌握所学课程的知识点，使他们对大学数学中的纯理论不再恐惧，更重要的是能够培养他们的发散性思维，激发他们的学习兴趣和热情，开发他们的探索精神，在潜移默化中培养他们的创新能力。

实践经验告诉我们，如果教师在课堂上带领学生从不同学科解决同一个问题，或者是从不同学科的角度去理解相同的理论，一定能够使学生领略到“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”之意境，不仅可以丰富自己的课堂教学，而且可以优化知识结构，培养学生的综合素养。

3 结语

曾有耶鲁大学校长理查德·莱文指出：跨学科的广度和批判性思维的培养，是中国大学本科教育缺乏的两个关键要素。微软公司首席研究及战略官科瑞格·蒙迪则认为：未来人类所面临的问题将会越来越复杂，解决问题的办法取决于跨学科的合作，企业界特别希望大学能培养出更多具有跨学科能力和合作能力的人才。

教师的教学方式是开启学生智慧闸门的钥匙，教学工作不仅仅是向学生传授知识，更重要的是开发学生智力、锻炼学生思维和培养学生能力。在大学数学的教学中，教师应注重学科交叉教学，使学生的学习能够融会贯通，解决问题的能力得到提升。这就需要教师在教学过程中，多加留心，引导学生透过现象认识本质，挖掘更加深刻的内容。

参考文献：

[1]同济大学数学系编.概率统计简明教程[M].第2版.北京：高等教育出版社，2012.

[2]谷伟平，董晶.关于大学数学学科交叉教学的探讨[J].课程教育研究，2014（34）：26-27.

[3]张德然.蒲丰投针问题的推广及其应用[J].阜阳师范学院学报，1997，1（31）：17-19.

[4]郇中丹，对我国师生数学学习和教学观念的反思[J].数学通报，2009，7（48）：8-10.

[5]卢建飞，吴太山，吴书光，尹承梅.基于交叉学科的研究生创新人才培养研究[J].中国高教研究，2006（1）：46-48.

基金项目：重庆人文科技学院教改项目，名称：《高等数学》课程教学改革的研究与实践，项目编号：14CRKJ02。