大学数学：不同课程概念的相通

摘 要：讨论高等数学、线性代数、概率论与数理统计这三门基础课中的几个数学概念，并说明其相通之处.

关键词：奇函数；偶函数；对称矩阵；反对称矩阵

[中图分类号]G642 [文献标志码]A

University Mathematics：Interconnection of Different Course Concepts

ZHI Jie

（Lanzhou University of Finance and Economics， School of Information Engineering， Lanzhou 730020，China）

Abstract：This paper discusses several mathematical concepts in three basic courses of higher mathematics， linear algebra， probability theory and mathematical statistics， and explains their interconnection.

Key words：odd function；even function；symmetric matrix；antisymmetric matrix

高等数学、线性代数、概率论与数理统计这三门课程构成了大学数学的基础课.本文分析这三门基础数学课程中某些概念的相通之处，目的是提高学生的学习效率和学习兴趣.

1 奇函数、偶函数与对称矩阵、反对称矩阵

函数的奇偶性是高等数学中的概念，而对称矩阵、反对称矩阵是线性代数中的概念，二者属于不同的数学方向.

1.1 定义

定义1[1] 设函数f（x）的定义域D关于原点对称.如果对于任一x∈D，f（-x）=f（x）恒成立，则称f（x）为偶函数.如果对于任一x∈D，f（-x）=-f（x）恒成立，则称f（x）为奇函数.奇函数图像关于原点对称，偶函数图像关于y轴对称.

定义2[2] 设A为n阶方阵.如果AT=A，即aij=aji（i，j=1，2，…，n），则称A为对称矩阵.如果AT=-A，即aij=-aji（i，j=1，2，…，n），则称A为反对称矩阵.对称矩阵中元素特点是关于主对角线对称，反对称矩阵中元素特点是主对角线上元素为零，其余元素关于主对角线反对称.

可以这样考虑，定义2中的A可以看作定义1中的f（x），定义2中的AT可以看作定义1中的f（-x）.

1.2 运算特点

奇函数与偶函数有下列运算特点：

（1）两个奇（偶）函数的和、差仍是奇（偶）函数；

（2）两个奇（偶）函数的乘积是偶函数；

（3）一个奇函数和一个偶函数的乘积是奇函数.

矩阵的乘法不满足交换律，为了寻找与奇（偶）函数的相通之处，关于对称矩阵与反对称矩阵的运算特点在矩阵乘法可交换条件下讨论.

对称矩阵与反对称矩阵有下列运算特点；

（1）两个对称（反对称）矩阵的和、差仍是对称（反对称）矩阵；

（2）在可交换条件下，两个对称（反对称）矩阵的乘积是对称矩阵；

（3）在可交换条件下，一个对称矩阵和一个反对称矩阵的乘积是反对称矩阵.

1.3 例证

例1[1] 设函数f（x）的定义域为（-l，l），证明必存在（-l，l）上的偶函数g（x）及奇函数h（x），使得f（x）=g（x）+h（x）.

分析：假设有这样的g（x），h（x）存在，满足g（-x）=g（x），h（-x）=-h（x），并且使得f（x）=g（x）+h（x）.

于是，

f（-x）=g（-x）+h（-x）=g（x）-h（x），

则结合上面的式子，以g（x），h（x）为未知量求解，得

g（x）=12f（x）+f（-x），

h（x）=12f（x）-f（-x）.

可以得到下面的证明.

证明 构造g（x）=12f（x）+f（-x），h（x）=12f（x）-f（-x），且g（x）为偶函数，h（x）為奇函数.则f（x）=g（x）+h（x），证毕.

例2[3] 证明实数域上任意一个n阶方阵都可以表示成一个对称矩阵和一个反对称矩阵之和.

分析：由函数奇偶性、矩阵对称性定义和例1的启发很容易就得到证明.

证明 设实数域上n阶方阵A.构造n阶矩阵B=12（A+AT），C=12（A-AT）.

因为

BT=12（A+AT）T=12（AT+A）=B，

即B为对称矩阵.

同理，

CT=12（A-AT）T=12（AT-A）=-C，

即C为反对称矩阵.

从而，A=B+C.证毕.

从上面的讨论可以看出，对于不同方向的不同概念，只要找到其相通之处，有关的概念理解和问题讨论就可以迎刃而解了.

2 向量内积的一条性质和协方差的一条性质

在学习向量内积和随机向量协方差时，感觉上二者是风马牛不相及的，但实则不然，二者的性质中有一条表述一致，其证明方法也有异曲同工之妙.

定理1[2] 设α，β为Rn中的向量，则有|αTβ|≤‖α‖·‖β‖.等号成立，当且仅当α与β线性相关.

证明 若α，β中至少有一个是零向量，结论必然成立.

设α，β同时为非零向量.考虑α+tβ（t≠0为实数），则α+tβ=0（线性相关）或α+tβ≠0（线性无关）.

f（t）=（α+tβ）T（α+tβ）≥0，

即

f（t）=αTα+2tαTβ+t2βTβ≥0，

此时，不等式左边是关于t的一元二次函数，该二次函数≥0，也就是说，二次方程

αTα+2tαTβ+t2βTβ=0

无实根或有两个相等的实根，即Δ≤0，

从而，

（2αTβ）2-4·αTα·βTβ≤0，

即|αTβ|≤‖α‖·‖β‖成立.

定理2[4] 对任意随机变量X，Y，有|Cov（X，Y）|≤DX·DY.等号成立，当且仅当X与Y几乎处处线性相关，即

P{Y=aX+b}=1.

证明 构造关于实变量t的二次函数f（t）=D（X+tY）（t≠0），由方差的性质，显然f（t）=D（X+tY）≥0.

根据方差的性质展开上式，得

f（t）=DX+2tCov（X，Y）+t2DY≥0，

则关于实变量t的二次方程DX+2tCov（X，Y）+t2DY=0没实根或有两个相等的实根，即Δ≤0，从而，

2Cov（X，Y）2-4·DX·DY≤0，

即

|Cov（X，Y）|≤DX·DY成立.

3 两个随机变量和差的方差公式和完全平方和差公式

公式[4] 对任意随机变量X，Y，有D（X±Y）=DX±2Cov（X，Y）+DY.

中间项很像完全平方和差公式（a±b）2=a2±2ab+b2，这样记忆起来方便很多.

大学数学的知识点中，有很多概念或问题都有相通之处，本文只是简单作了介绍，希望同学们在学习的过程中将知识点贯穿、联系，逐步探索、理解，最终可以将这种学习方法应用到其他知识的学习和以后的工作中.

参考文献

[1] 同济大学数学系.高等数学：上册[M].北京：高等教育出版社，2007.717.

[2] 張禾瑞，郝鈵新.高等代数[M].北京：高等教育出版社，2007.332340.

[3] 马杰.线性代数复习指导[M].北京：科学技术文献出版社，2001.7490.

[4] 李伯德，智婕.概率论与数理统计[M].北京：科学出版社，2015.99108.

[5] 智婕.矩阵等价、相似、合同的联系[J].牡丹江师范学院学报：自然科学版，2011（3）：23.

[6] 崔艳，储亚伟，马玉田，等.复变函数中积分中值定理的改进和推广[J].牡丹江师范学院学报：自然科学版，2017（2）：3435+40.

编辑：吴楠