多角度构造完备事件组

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【摘 要】恰当构造完备事件组是利用全概率公式解题的关键。本文通过一道例题，采用三种方法构造完备事件组进行求解，总结出完备事件组构造的基本方法，同时有利于拓宽同学们的解题思路。

【关键词】完备事件组；全概率公式

【中图分类号】J292.1 【文献标识码】A

【文章编号】2095-3089（2018）12-0046-01

全概率公式是概率论与数理统计中的重要公式，它借助于一个完备事件组将复杂事件分解成若干个简单事件的概率的求和问题，灵活应用全概率公式给我们解决日常问题带来了很大的便利。应用全概率公式的关键是寻找一个恰当的完备事件组，但在教学实践中发现寻找完备事件组是很多学生感到困惑的一个难题。本文通过一道用全概率公式求解的例题，从三种不同角度构造完备事件组进行求解，总结出构造完备事件组的基本方法，为广大学者提供参考。一、完备事件组，全概率公式

定义1：设B1，B2，，Bn为E的一组事件，若

（1）BiBj=φ，i≠j；i，j=1，2，L，n；

（2）B1UB2UL UBn=S.

则称B1，B2，，Bn为样本空间S的一个完备事件组或称为样本空间S的一个划分.

定理1：设试验E的样本空间为S，A为E的任一事件，B1，B2，，Bn为S的一个完备事件组，且则P（Bi）>0（i=1，2，，n），则

P（A）=∑〖DD（〗n〖〗i=1〖DD）〗P（A"Bi）P（Bi）.

上式称为全概率公式.二、完备事件组的多种构造法

在文献[1]中，有这样一个题目：有两个盒子，第一盒中装有2个红球，1个白球，第二盒中装一半红球，一半白球。现从两盒中各任取一球放在一起，再从中取一球，问：这个球是红球的概率。

分析：本题涉及到两次取球，第一次从两个盒中各任取一球，第二次从取出的两个球中任取一球。显然第一次取球的结果影响第二次取球的结果，因此本例可按第一次取球的样本空间进行分解即可构造出所需的完备事件组。

解法一：考虑第一次取到红球的个数，其样本空间为S1={0，1，2}。设Bi表示第一次取出i个红球（i=0，1，2），则B0，B1，B2构成S的一个完备事件组，设A表示最后取出的是红球。

〖XC70.JPG；%25%25〗

由全概率公式有

〖XC71.JPG；%25%25〗

解法二：考虑第一次取到球的颜色，其样本空间为S2={（红，红）（红，白）（白，红）（白，白）}，设Ci表示从第i盒中取到的是红球（i=1，2）.则C1C2，C1C〖TX-〗2，C〖TX-〗1C2，C〖TX-〗1C〖TX-〗2構成一个完备事件组。

〖XC72.JPG；%25%25〗

分析：本题中的试验对象是球，涉及到球的来源和球的颜色，按照来源可以把球分为两类：“来自于第一盒的球”和“来自于第二盒的球”，按照颜色也可以分为两类：“红球”和“白球”，显然来自于哪个盒子影响是红球还是白球的概率，故可按来源这个分类方法的样本空间进行分解构造完备事件组。

解法三：考虑最后取出的球的来源，其样本空间为S3={1，2}.设Di表示最后取出的球来自于第i盒（i=1，2）则D1，D2构成完备事件组。

〖XC73.JPG；%25%25〗三、结束语

通过上述例题的分析可以看到在寻找完备事件组时可按如下两个方法进行：（1）若试验可分为前后两个步骤，则第一步中的各种可能结果就构成一组完备事件组。（2）若试验涉及到试验对象的两种不同分类方法，而关心的问题是某分类方法下某种可能结果发生的概率，则另一类分类方法下各种可能的结果就构成完备事件组。同时，通过一题多解可以启发和引导学生从不同的角度进行分析，以达到培养学生发散思维的目的。

参考文献

[1]王式安.概率论与数理统计辅导讲义[M].西安交通大学出版社，2016.

[2]盛骤.概率论与数理统计[M].高等教育出版社，2008.

项目名称：MOOC背景下培养数学素养的教学模式研究，编号：YTJG201811