浅谈贝努利试验、二项分布和两点分布的关系和应用

【摘要】本文给出了贝努利试验、二项分布和两点分布之间的关系，并将这些关系应用到中心极限定理和大数定律的收敛速度的讨论中.

【关键词】贝努利试验；二项分布；两点分布

【基金项目】江苏省自然科学基金，金融保险中的大偏差和定价（编号202010006）.

本文给出了贝努利试验、二项分布和两点分布之间的关系，并将应用这些关系来讨论中心极限定理和大数定律的收敛速度.

定义1 （贝努利试验）在n重独立重复试验中，如果每次试验的结果只有两种，则称该n重试验为贝努利试验.

定理1 （贝努利定理）设事件A发生的概率为p，则在n重贝努利试验中事件A发生k次的概率为Cknpk（1-p）n-k，k=0，1，2，…，n.

定义2 （二项分布）如果随机变量X服从二项分布B（n，p），则随机变量X的分布律为P（X=k）=Cknpk（1-p）n-k，k=0，1，2，…，n.

定理2 贝努利试验和二项分布的关系：在n重贝努利试验中，事件A发生的次数服从二项分布.

定理2的证明 设X表示n重贝努利试验中事件A发生的次数，则P（X=k）表示n重贝努利试验中事件A发生k次的概率；另一方面，由贝努利定理我们知道，n重贝努利试验中事件A发生k次的概率为Cknpk（1-p）n-k，所以P（X=k）=Cknpk（1-p）n-k，即X服从二项分布B（n，p）.

二项分布和两点分布的关系：二项分布B（1，p）即为两点分布；二项分布B（n，p）可以看成是n个独立同分布的两点分布的和.设X～B（n，p），X1，X2，…，Xn是独立同分布的随机变量序列P（X1=1）=p，则X和∑nk=1Xk具有相同的分布.要证明X与∑nk=1Xk同分布，只需要证明X与∑nk=1Xk具有相同的特征函数.X的特征函数为（1-p+eitp）n，∑nk=1Xk的特征函数为（E（eitX1））n=（1-p+peit）n.X和∑nk=1Xk的特征函数相同，所以它们具有相同的分布率.

下面我们给出X和∑nk=1Xk具有相同的分布这一结论的两个应用.

应用1 由中心极限定理知，∑nk=1Xk-npnp（1-p）近似服从N（0，1），由于正态分布的线性函数仍然是正态分布，所以∑nk=1Xk近似服从N（np，np（1-p）），所以X也近似服从N（np，np（1-p）），这样我们就可以用一个正态分布去近似二项分布.

应用2 由大偏差理论，对于任意的ε>0，有

P∑nk=1Xkn-p>ε≌exp{-ninf{I（x）：x∈（-∞，p-ε）∪（p+ε，+∞）}}，

其中I（x）=supθ∈R{θx-log（1-p+peθ）}>0，故∑nk=1XknPp，而X和∑nk=1Xk同分布，所以XnPp，而Xn表示事件A發生的频率，p为事件A的概率，XnPp表示频率稳定于概率，并且，Xn“快速”稳定到p.

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