关于负二项分布高阶矩的教学注记

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摘 要：文章利用负二项分布的分解定理，给出负二项分布的高阶矩的递推公式，并给出了递推公式的应用，加深对负二项分布的认识和理解，为负二项分布的教学提供更多教学素材。

关键词：负二项分布；矩；教学

中图分类号：G642 文献标志码：A 文章编号：2096-000X（2017）18-0097-03

Abstract： In this paper， theorem of decomposition of negative binomial distribution is applied. The recurrent formula of higher order origin moment on negative binomial distribution is given. The recurrence formula is applied. The understanding of negative binomial distribution is deepened. More teaching materials are provided for the teaching of negative binomial distribution.

Keywords： negative binomial distribution； moment； teaching

引言

我們知道在一个伯努利试验中，每次试验成功的概率为p（0

一、相关定义及引理

定义1 设X是随机变量，如果X的分布律为P（X=k）=qk-1p，0

由课本可知：E（X）=■，D（X）=■。

引理1设函数f（x）=■，（其中x≠0），？誺为任一正整数，则f（x）的？誺阶导数为

f （？誺）（x）=■

证明 利用二项式定理，将（1-x）？誺展开，可得

f（x）=■（1-x）？誺=■■C■■（-1）kxk=■+■C■■（-1）kxk-1，

而■C■■（-1）kxk-1是？誺-1次多项式，故■C■■（-1）kxk-1的？誺阶导数

[■C■■（-1）kxk-1] （？誺）=0，

从而

f （l）（x）=（■）（l）=（x-1）（l）=（-1）（-2）…（-l）x-1-l=■。

引理2[1]设l次多项式g（x）=x（x+1）…（x+l-1），（l为正整数），g（x）可表示为

g（x）=x（x+1）…（x+l-1）=xl+？姿1xl-1+…+？姿l-1x

其中？姿i=（-1）i■k1k2…ki，i=1，2，…，l-1，k1，k2，…ki是0，-1，…，-（l-1）中的任意i个数，这里■k1k2…ki表示所有可能的i个不同的kj的乘积之和。

引理3[2]如果X～B_（n，p）的充分必要条件是X可分解为n个独立同几何分布的随机变量的和，即X=■Xi，其中 x1，x2，…，xn相互独立，且Xi～G（p），i=1，2，…n。

二、主要结果

定理1 设随机变量X～G（p）（0

证明 由于X～G（p），所以有P（X=k）=p（1-p）k-1，k=1，2，…，从而E[X（X+1）…（X+l-1）]=■k（k+1）…（k+l-1）p（1-p）k-1

=p■k（k+1）…（k+l-1）（1-p）k-1

=p■[（-1）l（1-x）k+l-1] （l）"x=p

=（-1）lp[■（1-x）k+l-1] （l）|x=p

（当0

=（-1）lp[■] （l）|x=p。

由于[■] （l）|x=p=■。

得

E[X（X+1）…（X+l-1）]=（-1）lp■■=■。

设随机变量X～G（p），（0

推论（1）当l=1时，得E（X）=■。

推论（2）当l=1时，得E（X）=E[X（X+1）]-E（X）=■-■，从而

D（X）=E（X2）-[E（X）]2=■。

下面我们给出几何分布高阶原点矩的递推公式，设X～G（p），（0

定理2 设随机变量X～G（p），（0

E（Xl）=■-■？姿iAi。

其中？姿i=（-1）i■k1k2…ki，i=1，2，…，l-1，k1，k2，…ki是0，-1，…，-（l-1）中的任意i个数，这里■k1，k2，…ki表示所有可能的i个不同的kj的乘积之和。

证明 有引理2中知，对任意正整数l，有

Xl=x（x-1）…（x+l-1）-■？姿ixl-i。

利用定理1得

E（xl）=E[X（X+1）…（X+l-1）-■？姿iE（xl-i）=■-■？姿iAi。

定理3 设随机变量X～B-（n，p），对任意的正整数？誺，则

证明设X1，X2，…，Xn相互独立，且Xi～G（p），i=1，2，…，n。

由引理3知，X=■Xi。

定理3给出了负二项分布的高阶原点矩的递推公式，也揭示了负二项分布的高阶原点矩与几何分布的高阶原点矩之间的联系。

三、有关应用

应用定理2的递推公式求几何分布的高阶原点矩，关键在于确定系数？姿i，下面分别就l的取值情况分别给出相应的？姿i的值，i=1，2，…，l-1。

当l=1时，？姿0=1；

当l=2时，？姿1=1；

当l=3时，

当l=4时，

设随机变量X～G（p），下面我们应用定理2分别求出 E（X3）、E（X4）

由推论知，E（X）=■，E（X2）=■-■。

应用定理2得

同理可得

設随机变量X～B-（n，p），下面应用定理2.3分别求E（x），E（x2），E（x3），X1，X2，…，Xn相互独立，Xi～g（p），i=1，2，…，n。

以此类推，求出各阶矩。

四、结束语

通过研究负二项分布的高阶原点矩，给出了几何分布、负二项分布的高阶原点矩的递推公式，也揭示了负二项分布的高阶原点矩与几何分布的高阶原点矩之间的联系。在教学中，可以根据学生的理解情况，进行多思路，多方法探讨问题，培养学生的发散思维，激发学生学习及研究热情。

参考文献：

[1]王萼芳，石生明.高等代数[M].北京：高等教育出版社，1978. [2]陈光曙.负二项分布随机变量的分解定理[J].大学数学，2008，24（1）：108-110.

[3]茆诗松，程依明，濮晓龙.概率论与数理统计教程[M].北京：高等教育出版社，2004.

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[5]王梓坤.概率论基础及应用[M].北京：科学出版社，1976.

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[7]陈希儒.概率论与数理统计[M].北京：科学出版社，2000.