实变函数课程教学改革探讨

摘要： 本文探讨了实变函数教学中如何加强数学思想方法的教学及提高学生的数学素养和师范技能。

关键词： 实变函数；教学改革

中图分类号：G642.0文献标识码：A文章编号：1006-4311（2012）07-0207-01

0引言

实变函数是高等师范数学专业一门重要的基础专业课，它的内容广泛渗透到现代数学的各个领域，例如泛函分析、现代偏微分方程、分形理论等，学好实变函数有着重要意义。但在实际教学过程中学生常常对这门课程学习的积极性并不高，其原因主要有：首先实变函数中介绍的理论知识具有高度的概括性和抽象性；其次实变函数的知识在考研及以后的工作中很少能用到，学生多偏重于与就业或考研相关的课程；如果在教学中，教师过于注重数学本身的理论，必然导致学生越学越没有兴趣。因此，为了提高教学效果，本文结合教学实践中的经验，探索该门课程的教学规律，改革了教学的一些手段和方法，并在实践中取得一定的成效。

1在教学中加强数学思想方法的教育

1.1 教师应深入分析教材，挖掘教材内在的思想方法数学思想方法是前人探索数学真理过程的积累，但数学教材并不是这种探索过程的真实记录，它对完美演绎形式的追求往往掩盖了内在的思想方法，因此教师需要深入分析教材，挖掘内在的思想方法[1]。例如：①映射的思想。学生都会数数，但是很少会有人想到其所蕴含的数学思想，即建立了一个有限集合与正整数列的某一截段的一一对应。把一一映射的思想应用到无限集合上，就能够比较无限集合所含元素个数的多少，也正是一一映射的思想把有限集合的数与无限集合的基数统一起来了。②构造性思想方法。构造辅助函数，如利用可测函数f（x）构造简单函数列{φn（x）}，使得f（x）=■φn（x）[2]；构造开区间列、开集、闭集、构造开覆盖法、构造反例法等等。③数形结合的思想。如可积函数f（x）在E上的L积分等于函数正部与负部对应下方图形测度之差，由此还可以导出高维积分与低维积分之间的联系。④特殊一般思想，如L积分的定义，先由非负可测函数的积分，再来定义一般函数的L积分。还有公理化思想、符号化思想、互逆型思想方法等等。

1.2 在教学中适时的渗透数学思想方法知识是思想的载体，教师通过传授知识揭示其中的数学思想方法，启发、引导学生去思考。首先，教师应注重揭示新旧知识的内在联系，从而引导学生思考其中所蕴含的思想方法。如距离的概念，学生对距离固有的认识，即“两点之间线段的长度为距离”，而距离就是集合内部的一种结构，他们所认识的距离只是特殊的距离空间：欧氏空间，所对应的一种特殊的距离（结构），如果能很好的认识到这里特殊与一般的关系，也就能很好的理解距离的概念。其次，教师通过介绍问题产生的背景，带领学生经历探索的过程，逐步形成、掌握数学思想方法，激发学生的兴趣。最后，在教师的揭示和引导下，还可以组织学生积极参与教学过程，例如老师讲解完定理的证明后，可以让学生讨论总结证明的思路、及其中蕴含的数学思想方法。在教师的引导下，学生通过学习知识掌握其中的思想方法以后就会发现，虽然知识很少用到，但是其中的思想方法无论是在考研还是在中小学的教学里都会用到；通过数学思想方法的掌握，锻炼了思维能力，又能促进学生对知识的学习和领悟。

2教学中体现实变函数承上启下的作用

实变函数是一门承上启下的课程，它是微积分学的深化和延拓，又是泛函分析、概率论等课程的基础。教师在讲解过程中体现实变函数承上启下的作用，可以使学生觉得实变函数的引入是自然的、有用的，从而调动学习的积极性。

数学分析中的Riemann积分是在Jordan测度基础上建立的，主要有以下几点缺陷：①黎曼意义下可积的函数类范围太小。如Dirichlet函数这样的简单函数却不是R可积的。②R积分与极限可交换顺序的条件太苛刻。在数学分析中，交换函数列极限与积分的顺序，需要函数列一致收敛的条件来保证，而能够达到一致收敛条件的函数列并不多。③R积分运算不完全是微分运算的逆运算。法国数学家Lebesgue在Lebesgue测度基础上建立了Lebesgue积分，弥补了R积分的诸多不足。比较两种积分的定义，L积分正是将R积分定义中的分割方式稍做改变，从而得到新的积分，既保留了R积分的许多性质，又有许多自身的新特性，使得L积分的应用更加广泛。另一方面，实变函数又为后继课程：泛函分析、概率论等打下基础。将实变函数中的L测度提升到抽象测度后，概率本质上就是一种测度，L测度及概率只是抽象测度的两个特例而已，这样实变函数与概率论就统一在测度论下，为随机过程的学习打下基础。现代数学思想方法中分形几何的许多基本思想和方法都源自实变函数，如Cantor集中体现的分形自相似性和维数特性。

3体现专业培养特色，注重教学的实用性

我校属于师范本科院校，大部分数学专业学生毕业后要从事中小学教师这个职业。所以在大学教学过程中要注重他们的数学思维以及自身综合能力的提高，如教学能力，沟通能力等。反思数学专业各门课程的教学几乎都是采用“满堂灌”的教学方法,课堂基本上是老师一个人的舞台，学生没有机会参与教学过程，这种教学方式必定会影响到学生以后的职业生涯。因此在实变函数教学改革中应该改变这种传统的教学模式，注重与学生的交流、沟通，让学生参与教学。一方面，它可以改变学生被动学习的方式，激发学生的学习兴趣及创新意识；另一方面，在提高学生数学素养的同时，可以提高他们作为教师的职业素养。实变函数的内容总体上抽象难懂，但是也有一些简单的概念、定理，如L积分的定义，在R积分定义的基础上就很容易理解。像这些比较简单的内容就可以通过让学生小组讨论、自己讲解、老师补充的方式来组织教学。又如一些定理证明思路的总结、数学思想方法的总结、章节的总结，都可以让学生自己完成。或者，在上课之前，让学生通过查阅资料，了解知识的背景，并以报告的形式完成。在内容上加强与中学数学的联系：如集合论的知识、距离的概念、集合的测度等等。又如什么是曲线？曲线能填满空间的一块吗？这些中学中有可能遇到的问题，通过实变函数的学习能够帮助学生清楚的认识这些问题。

本文总结了实变函数教学改革中的一些思路，并在教学实践中取得了较好的效果。当然这些改革思路还有不完善的地方，在教学中不断会有新的问题出现，还需要我们继续探索、完善，与时俱进，不断创新。

参考文献：

[1]肖柏荣.数学思想方法及其教学示例[M].江苏教育出版社，2000.

[2]程其襄.实变函数与泛函分析基础[M].高等教育出版社，2003.