连续与间断、可导与不可导间的分析定义

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摘 要：数学分析课程的研究对象是函数，是在实数范围内研究函数，连续函数是一类非常理想的函数，连续是可导的必要条件，同时是可积的充分条件。另外，导数是数学分析课程的重要组成部分，深刻理解可导与不可导的分析定义对课程学习非常重要。本文从连续与间断、可导与不可导的分析定义入手，系统讨论概念间的逻辑联系。

关键词：数学思想方法；教学方法；数学分析

一、连续与间断的分析定义

1.函数在点X0连续的定义

定义1：若函数y=f（x）在点的极限值等于它在该点的函数值，则称函数y=f（x）在点x0，记为。

由定义可见，函数要在某个确定的点处连续，要满足两个条件：首先函数必须在该点处存在极限，即函数在该点收敛；其次，函数在该点处的极限值等于该点处的函数值，即函数要在某点处连续，不仅要求函数在该点处存在极限，还要求函数在该点处的极限值等于该点处的函数值。

研究函数连续性的逻辑顺序是：首先研究函数在一点处连续，再推广到开区间，函数在开区间（a，b）连续的定义是：若函数y=f（x）在开区间（a，b）内每一点都连续，则称函数在开区间（a，b）连续；其次，将函数的连续性推广到闭区间，函数在闭区间[a，b]连续的定义是：若函数y=f（x）在开区间（a，b）内连续，且在左端点处右连续、在右端点处左连续，则称函数y=f（x）在闭区间[a，b]连续。

2函数在点X0间断的定义

研究函数间断时，要联系函数连续的定义来研究，间断是相对于连续而言的，所谓的间断点其实是不连续点。所以，定义函数的间断点时只需否定连续的定义即可。

连续定义时指出函数y=f（x）在点x0点连续必须满足的条件是函数在该点存在极限并且极限值等于该点处的函数值。而函数在某点处存在极限又必须满足三个条件：函数在该点左极限存在；函数在该点右极限存在，且左右极限值相等；再加上极限值等于函数值。所以函数在某点处连续包括四个条件，且四个条件缺一不可。

因此，在定义函数在某点处间断，只需否定连续的某个或某几个条件即可，根据函数所满足条件的不同又将间断点分成不同的类型。

函数间断点分成以下类型：第一类间断点：函数y=f（x）在x0的左右极限都存在，接下来还有两个条件。根据所满足条件不同，第一类间断点又分为可去间断点和跳跃间断点两类。可去间断点的定义是：函数左右极限都存在且相等，但不等于该点处的函数值；跳跃间断点的定义是：函数在该点的左右极限都存在但不相等。第二类间断点：函数在该点处的左右极限中至少有一个不存在。

从间断点的定义和分类的定义可以看出，通过否定四个条件中的三个、两个、一个条件可以将间断点分成三类。其中可去间断点的条件最强，满足其中三个条件；其次是跳跃间断点，满足两个条件，条件最弱的是第二类间断点。

二、函数可导与不可导的分析定义

1.可导的分析定义

函数在一点处可导的定义是：若函数极限存在，则称函数y=f（x）在点x0可导，并称该极限值为y=f（x）在点x0的导数，记为f"（x）=。

由该定义可以看出，函数在一个点处是否可导，完全取决于极限值存不存在，即函数值存在则可

导，函数值不存在则不可导。对可导研究的逻辑顺序类似于对连续性的讨论，即从点可导推广到区间I上可导：若函数y=f（x）在区间I上每一点都可导，则称该函数在该区间上可导。

因为极限有左极限和右极限之分，所以可导也分为左可导和右可导：若存在，则称y=f（x）在x0左可导，同理，若在存在则称y=f（x）在x0右可导。

2.不可导的分析定义

函数在某点不可导的分析定义：对任意数A，都存在，对任意，都有满足的x"，使成立。

参考文献：

[1]顾泠沅.数学思想方法[M].北京：中央广播电视出版社，2004.

[2]华东师大数学系.数学分析（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2010.