非线性数学期望在金融风险中的应用分析

【摘 要】随着世界金融经济的发展，金融经济领域出现了许多不确定的现象，金融危机也时常发生，这使得人们越来越重视对金融经济的研究，如何规避金融风险也成为了一个热点问题。非线性数学期望在这方面扮演者重要的角色，它可以帮助我们度量金融风险，从而推动各种措施的实行，以达到规避风险的目的。本文主要分析了非线性数学期望的性质以及其在规避金融风险方面的具体作用。

【关键词】非线性；数学期望；金融风险

自然科学和社会科学中存在着许多不确定的现象，这些现象不能够用线性数学来描述。因此，非线性数学就被研究者们用来描述这些现象。非线性数学期望应用于多个领域中，在经济领域也被广泛应用，金融经济中如何度量风险就主要应用的是非线性数学期望。金融风险度量就是运用一定的方法对各种金融风险进行定量分析和评估。非线性数学期望，特别是非线性数学期望中的g期望、F期望对金融风险度量有很大的帮助。非线性数学期望是以倒向微分方程为基础的，具有一般意义下的动态相容性。目前，关于倒向微分方程，研究者们已经研究出了许多重要成果，这些成果丰富了非线性数学期望的理论，也为金融风险的分析奠定了理论基础。一般来说，非线性数学期望是一个保单调性和保常性的算子，它包含有g期望、F期望、Choquet期望、BSDE理论等，本文主要分析g-期望和F-期望的性质及其在金融风险中的应用。

一、g-期望的性质及其在金融风险分析中的应用

g-期望是以倒向微分方程为基础的，倒向微分方程主要用于解决一些不确定现象的问题，即如何在不确定的环境里达到预期的目标，以及为达到此目标需求具备什么条件、采取什么措施。获得诺贝尔经济学奖Black-Schoies公式就是倒向微分方程的解，这个公式在计算风险金融资产价格方面被广泛应用。我国数学家彭实戈所定义的g-期望继承了许多经典数学期望的性质，并且还引入了条件g-期望和g-鞅的概念。自从g-期望的概念提出以来，中外许多学者都对此进行了研究，从而为非线性随机分析奠定了基础，也为经济方面的金融风险分析打下了理论根基。

g-期望具有很多性质，g-期望的Jensen不等式是关于一元函数成立的充分必要条件，g-期望具有共单调可加性以及次可加性时，条件g-期望也具有共单调可加性，g-期望还可以表示成Choquet积分的形式，g-期望还可以用来度量不定风险。

我们可以通过定义g函数来定义g-期望，彭实戈在关于g-期望的定义方面保留了经典数学期望的许多性质，g-期望一般来说是非线性的，但也满足经典非线性期望的部分性质，在此，我们不做具體说明。

二、F-期望的性质及其在金融风险分析中的应用

F-期望，是通过具有无穷小生成元 的全非线性抛物型偏微分方程生成的马尔科夫过程引入的。在一般的假设条件下，F-期望的一些基本性质是由Choquet等引入F-期望和条件F-期望得到的。F-期望满足Jensen不等式，并且也满足超齐次性以及常数可加性。同g-期望一样，当F-期望具有共单调可加性以及次可加性时，条件F-期望也具有共单调可加性。

根据相关理论可知，随机占优单调性、次可加性、正齐次性、连续性等是风险度量指标所满足的原则。F-期望在金融风险分析中可以应用于静态情形下风险度量和动态情形下的风险度量。

我们可以通过具体实例来分析。投保人想运用合理的投保方式来降低风险。投保后，自己的大部分风险就转嫁给了保险公司。那么对保险公司和投保人来说，怎样的保费额度是合理的？保险公司保证稳健发展所需收取的保费的最低额度是多少？投保人愿意为转嫁风险而支付的最大成本是多少？

对投保人来说，他有0.01的概率可能损失5000。他选择购买一份保费为100的保险。如果风险发生，那么保险公司会足额的赔偿投保人所承受的损失。即如果损失的情况发生了，投保人会获得保险公司5000元的赔偿。那么，投保人在投保后和投保前是不同的：

情况1：损失保费额100的概率是1；

情况2：以0.01的概率损失5000，以0.99的概率获得；

对于保险公司来说，接受了投保人的保险后是：

情况3：损失4900的概率是0.01，获得100的概率是0.99；

通过计算，F（g1）=970.4，F（g2）=100，F（g3）==941.7。通过计算可知，投保人在保险前后所面临的风险得到了显著的控制。通过F（g1）可知，虽然投保人面临的可能损失高达5000，但是他所面临的风险的不足最高损失的1/5。如果我们预期g1的状况会发生，我们需要预留的最低资本为970.4元。当损失发生时预留资本并不能弥补所有的风险暴露，也就是说F不能成为经济资本的一个衡量值。

通过F（g2），当保险公司全额赔付时，投保人在投保后所面临的风险等于保费。如果保险公司没有全额赔付，而是赔付损失的大部分。那么，投保人在投保后所面临的风险应该略大于保费。

情况4：损失100的概率是0.99，损失600的概率是0.01；g4说明保险公司在损失发生时只赔付损失额的90%的损失额，即4500元。F（g4）=141，风险增加了，但增加的绝对数额并不大。对于投保人来说，他愿意承担的最高的保险额度基本上就是由他的风险承受能力所决定。并且，保费额度略低于他所愿意承担的最大风险值。

F（g1）和F（g3），两者的数额差异不大。通过保险，投保人将风险几乎完全转嫁给了保险公司。

三、结束语

随着金融危机的发生发展，人们越来越认识到风险度量和控制的重要性，它已经是也将永远是金融数学研究的主题。非线性数学期望能够帮助解决不确定的现象和问题，能够帮助我们有效的规避风险，保持金融经济的稳定发展，在金融风险的度量与控制中被广泛应用。本文分析了g期望和F-期望的性质以及其在金融风险中的动态风险度量和静态风险度量，希望能够为我国金融风险的度量与控制提供一些指导，更好的促进我国金融经济的发展。

【参考文献】

[1]王伟.非线性数学期望及其在金融中的应用[D].山东大学，2009

[2]乔克林，乔小宁，曹振江.常利率复合二项双险种风险模型的研究[J].数学的实践与认识，2014（19）

[3]金国华，廖春华.数学期望模型在样本混合检验中的应用[J].生物技术世界，2014（10）