机械原理与理论力学中运动学部分的比较与总结

摘要：本文笔者通过对机械原理与理论力学中运动学部分的比较，总结并反思了机械原理教材中对运动学问题表述方式与求解方法中存在的缺陷；对机械系专业课程与基础课程内容的衔接以及教学方法的改革提出了自己的见解。

关键词：机械原理；理论力学；运动学

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2013）52-0096-02

普通高等工科院校机械类各专业所学的《机械原理》课程，内容一般可以归纳为三个部分：机构的结构、机构的运动学以及机器动力学。而其中机构的运动学部分，主要研究了机构各点的轨迹、位移、速度、加速度的求法和机构的运动规律，这与《理论力学》中的运动学部分所研究的内容是一致的。从课程间的关系上看，《机械原理》原本就是以《理论力学》[1]为基础的，因此对于运动学的研究方法和思想也应该是一致的；但事实上，国内大部分机械原理教材对于运动学问题的求解方法与理论力学还是有一些区别的，下面我们将举例详细说明。以组成移动副的两构件重合点间的速度和加速度的求法为例，如图1（a）中的四杆机构，已知机构的位置、各构件长度及构件1的等角速度ω1，求构件3的角速度ω3和角加速度ε3（为表述方便，所有符号以《机械原理》教材为准[2]）。

一、从速度分析看相对运动原理的不同描述

首先看《机械原理》对该问题中相对运动的分析方法：图1中构件2和3组成移动副，构件2上的点B2与构件3上的点B3为组成移动副两构件的重合点，因此可以根据相对运动原理列出相对速度和相对加速度矢量方程式。已知构件1上B的速度为vB1=ω1lAB，方向垂直于AB且指向与ω1转向一致；由于构件1、2用转动副B相联，因此vB1=vB2，构件2、3组成移动副，其重合点B的相对速度矢量方程式为：■=■+■（1）式中■为点B3相对于点B2的运动速度，该矢量等式中仅■与■的大小未知，故可画出速度多边形，如图1（b）所示。接下来通过解三角形或者按速度比例尺作图便可求出■的大小，进而解得构件3的角速度ω3。可以看出，这种方法是以B2为参考点所列出的速度矢量方程，用《理论力学》中点的合成运动理论来解释，就是以B3为动点，并将动系固结在构件2上，此时的点B2实际上就是牵连运动中与动系固结的“牵连点”，因此■就是牵连速度■，■相对速度■，■则是绝对速度■，这就满足了点的速度合成定理■=■+■。但是理论力学在解决该类问题的时候，更习惯于以B2为动点，将动系固结到构件3上。这样做的优点，不仅绝对运动中动点的速度和轨迹比较容易确定，而且牵连运动的形式也更容易判断（动系作定轴转动），牵连点则是任意时刻BC杆上与B2重合的点，该瞬时就是点B3。此时的速度矢量方程可以写成：■=■+■（2）式中■为动点B2相对于牵连点B3的运动速度，即相对速度■，此时速度合成示意图如图1（c）所示。由此可以看出，用点的合成运动思想去描述相对运动原理，将复杂运动分解为绝对运动、相对运动和牵连运动，可以使问题简化，思路更为清晰，更容易被接受。

二、从加速度分析看图解法与投影法解矢量方程的区别

接下来我们看《机械原理》对该问题中加速度的分析，为保持前后一致，在这里同样以B2为参考点列出加速度矢量方程：■=■+■+■由于点B3作曲线运动，因此加速度■+■=■，故原式可以写成：■+■=■+■+■（3）式中■和■分别是点B3的法向和切向加速度，这部分是绝对加速度■；■ 是牵连点B2的法向加速度，即牵连加速度■；■为点B3相对于B2的加速度，即相对加速度■（由于相对运动是直线运动，因此只有一个加速度分量）；■为科氏加速度，它是由于动系发生转动而产生的。该矢量等式中已知各矢量的方向和大小如下表所示。

从表中可以看出，上面的矢量方程式中只有■和■的大小未知，其他参数均为已知，因此该方程可解。下面我们用两种方法来求解这个矢量方程。

1.图解法。《机械原理》教材中一般都是用图解法来求解矢量方程，如图2（a）所示，从任意极点π连续作矢量πb2"和b2"k"分别代表■和■，其加速度比例尺μa=aB2/πb"2（m/s2/mm）；再过点π作矢量πb3""代表■，然后过点k"作直线 k"b"3平行于线段CB3代表■的方向线，并过点b""3作直线b3""b3"垂直于线段CB3，代表■的方向线，它们相交于b"3，则矢量πb3"便代表■。通过测量与计算可以求得构件3的角加速度为：ε3=atB3/lCB=μab""3b"3/μ1CB3，

2.投影法。《理论力学》在求解矢量方程时，当方程中矢量的个数超过3个，一般都采用投影法，将矢量等式转化为标量等式后求解。如图2（b）所示，首先将矢量方程中的所有矢量移到同一点，由于■和■大小未知，无法确定其指向（正负），可以先按图中假设的方向处理。想要求出构件3的角加速度ε3，只需要解出■的大小即可，下面将该矢量方程向BC的垂线方向投影（如图中红色虚线所示），转化后的代数方程如下：0+■=aB2cosθ-ak■+0 （4）式中θ为■与投影轴的夹角。可以看出，该方程只包含未知数at■而不含另一个未知数ar■，因此可以直接求出所需的结果：ε3=■=■=■（5）从上面这个例子我们可以看出，两种方法求解矢量方程各有优劣：图解法求解结构的位置、速度和加速度较为形象直观，但作图烦琐，精度较低；投影法所得的结果是解析解，不仅能满足精度要求，而且能反应各参量之间的函数关系，但是在投影转化为代数方程的时候可能会出现多元方程组，增加求解难度，如果合理选择投影轴，就可以减少方程中未知数的个数，从而使问题简化。

三、结论

1.《机械原理》与《理论力学》在运动学分析上采用了不同的方法，对一般学生来说，不能起到举一反三的作用，反而容易发生概念混淆；只有将机械原理教材对于运动学问题的求解方法与理论力学一致起来，才能做到从基础到应用的一致性；

2.《机械原理》中的图解法虽然较为直观，但思想方法与表述上都跟理论力学有一定的差别，且作图比较烦琐、精度差，对复杂机械分析时尤为困难。在计算机不发达的过去，不失为一种较为便捷的求解矢量方程的方法；但现如今计算机应用已经相当普遍，这就使得投影法成为一种更精确、更高效、更实用的求解方法。此外，当机构由二维扩展到三维时，相应的运动学矢量方程就成为了空间矢量方程，这时候图解法将不具备可操作性，而只能使用投影法进行分析。由以上分析，我们认为《机械原理》中的运动学分析方法必须跟《理论力学》中的对应内容保持一致。在分析机构运动的过程中，可以把图解法、矢量投影法、和计算机求解等知识一并纳入教学，让学生对同一内容有更加深刻全面的认识，从而使独立分析问题的能力大大增强。

参考文献：

[1]哈尔滨工业大学理论力学教研室.理论力学Ⅰ[M].第七版.北京：高等教育出版社，2009.

[2]王华坤.机械设计基础[M].南京理工大学，2000.

作者简介：方俊（1986-），男，江苏南通人，南京理工大学紫金学院助教，硕士，主要从事专业教学及有限元分析、力学分析、热固耦合等方面的研究工作。