谈数学中的反证法

谈数学中的反证法

何 昊

（江苏省南京市第十三中学锁金分校）

摘 要：系统地介绍了理论基础，对反证法的逻辑形式，唯一的负命题，命题，肯定命题三用反证法适用的命题类型进行了详细讨论。

关键词：反证法；否定性；唯一性

在数学的诸多方法中，反证法是一种重要的证明方法，尤其在数学证明中，它是一种间接的证据，被称为“一个最先进的武器”的数学家.反证法经常被用来证明存在性、否定性、唯一性等一些不易直接下手的命题.用反证法证明命题成立的基本步骤可以简单地概括为“否定—推理—反驳—肯定”四个步骤.一个数学问题的解决方案，如果你觉得不足或没有启动的“条件”，不妨考虑反证法的使用.反证法的应用范围很广，比如代数、数论、几何、组合等方面的应用.

一、反证法的概念及类型

反谓反证法，就是在要证明“若A则B”时，可以先将结论B予以否定，记作，然后从A与出发，经正确的逻辑推理而得到矛盾，从而原命题得证.

反证法大致可分为以下两种类型：

归谬法：论题结论的反面只有一种情况，只要把这种情况推翻就达到了目的.

穷举法：论题结论的反面不止一种情况，要一一驳倒，最后才能肯定原命题结论正确.

二、反证法常用于以下几种命题的证明

1.存在性命题

例1：证明A，B，C，D，E五数之和等于5，则其中必有一个不小于1.

分析：这个问题似乎很简单，但直接的证明是不容易的.因此，应用反证法，它可以很容易地证明.

证明：假设A，B，C，D，E都小于1，那么A+B+C+D+E<1×5=5

所以5个数都小于1不成立，故必有一个数不小于1，即原命题是正确的.

2.否定性命题

例2：设平面上有六个圆，每个圆的圆心都在其余各圆的外部.试证明：平面上任一点都不会同时在这六个圆的内部.

分析：直接证明某点在哪些圆的内部，在哪些圆的外部，有些困难，故最好用反证法来证明.

证明：假设平面内有一点M同时在这六个圆的内部，为了方便，我们把绕M的六个圆心从某个开始按顺时针方向分别记为A，B，C，D，E，F，连结MA，MB，MC，MD，ME，MF.

考虑△AMB，M在⊙A内，B在⊙A外，所以有AB>AM，同理，AB>BM，即在△AMB中，AB大于其他两边.

由“大边对大角”知，∠AMB>∠ABM.同理，∠AMB>∠BAM.

所以，3∠AMB>∠ABM+∠AMB+∠BAM=180°，

所以∠AMB>60°.

同理∠BMC、∠CMD、∠DME、∠EMF、∠FMA均大于60°.

所以∠AMB+∠BMC+∠CMD+∠DME+∠EMF+∠FMA>360°.

但是，很显然，这个角围成了一个周角，它们的和不可能大于360°，出现矛盾.

故而假设不正确，所以原命题成立.

3.唯一性命题

例3：求证方程x=sinx+a（a为常数）的解唯一.

分析：直接解或证明是非常困难的，作为唯一的命题往往采用反证法证明.

所以原方程的解是唯一的.

从上面的例子中，我们可以看到，最大的优势是反证法——超过一个或几个条件，从相反的结论来看，与一些已知的条件下，原出口的冲突，从而达到负的假设、肯定原命题的目的.从上面，我们应该充分利用反证法，必须正确把握灵活运用“反设”“归谬”这两个反证步骤.反设是反证法的第一步，能否正确否定结论，对论证的正确性有着直接的影响.

反证法是很巧妙的，它的应用是很广泛的，但究竟怎样的命题证明才适于用反证法，却很难回答，这是一个经验问题.

参考文献：

[1]李建泉.中等数学[M].中国学术电子出版社，2004.

[2]刘广云.数学分析选讲[M].哈尔滨：黑龙江教育出版社，1993.

[3]张顺燕.数学的思想、方法和应用[M].北京：北京大学出版社，2003.

[4]曹珍富.数论中的问题与结果.哈尔滨工业大学出版社，1996：6-10.

[5]左铨如，季素月.初等几何研究.上海科技教育出版社，1991：50-56.