小议多项式的最大公因式

摘 要：本文从多项式的最大公因式的定义出发，探讨了多个多项式的最大公因式的性质，并且系统地对其定理以及性质给予相应的证明.此外，探求多项式的最大公因式的多种求解方法.多项式的理论在数学史源远流长，内容丰富，高等代数在大学里的开设主要包含两部分：线性代数初步、多项式代数.这有力的彰显了多项式理论在高等代数里的地位，本文对多个多项式的最大公因式的性质做出系统归纳并证明.

关键词：多个多项式 最大公因式 高等代数

中图分类号：O151 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2017）09（b）-0164-02

1 两个多项式最大公因式的定义

定义1[1]设，如果满足以下条件

①且；②，若且，则；则称是的一个最大公因式.

注：①的最大公因式有无穷多个，我们约定把的首项系数为1的最大公因式为记作.②虽然最大公因式不唯一，但是其首项系数为1的公因式是唯一确定的.③如果，那么的最大公因式为0.④如果与不全为0，那么.⑤对于，与零多项式0的最大公因式是.⑥若是的最大公因式，一定有下式成立（为非零常数）.⑦若，则为的最大公因式.

2 多个多项式最大公因式

2.1 多个多项式最大公因式的定义

定义2-1存在最大公因式，，当满足以下条件时：①；

②，若，则；

我们称是的最大公因式

注：我们把的首项系数为1的最大公因式为记作.

2.2 多个多项式最大公因式的性质

定理2-1设是中的个多项式，则在中存在一个最大公因式，且可以表示成的一个组合，即有中多项式使：

.

证明 先证的存在.

对于中的任意两个多项式，在中一定存在一个最大公因式，则也存在最大公因式.

依此类推，即可得的最大公因式也存在.

其次，证明可以由线性表出.

当时，结论显然成立.

假设命题对也成立，即在中一定存在，使得：

.

再证明命题对n也成立.存在和，使得：

.

令.则.

故可以由线性表出.

定理2-2 若存在最大公因式，则也存在最大公因式，而且成立.

证明 由题意，我们可以令，

那么与的两个多项公式必定存在最大公因式.

不妨设为，下面证明：.

又因为，设是的任一公因式，则.这样就是与的一个公因式，则：.

类似定理2-1的证明，可知，故结论成立.

定理2-3 中n个多项式互素的充分必要条件是中有，使：.

证明 必要性 由定理 2-1的证明直接得出.

充分性 设有，使得

.

而是的一个最大公因式.于是：.

从而，即互素.

定理2-4 在中n个多项式互素的充分条件是在中存在两个多项式互素.

证明 如果存在两个多项式互素.不妨设互素，则存在两个多项式，使得：.

取，则.

故互素.

定理2-5 如果，都是多项式，而且则：

.

证明 由于：，，…，

因此，可得：，

同理可证：，，

从而可得：.

定理2-6 若，其中行列式，则：.

证明 已知方程组的系数行列式不等于零，则由克莱姆法则，可得

，，……，.

其中使把矩阵中A的第j列换成方程组的

，，.

又因为位于矩阵Aj的一列，由行列式的定义知dj其实是的一个组合，即可以写成

，，……

.

其中为常数.

令，下面证明.

设是的任一公因式，由的表达式可知

，

所以可得：，

从而，即：.

定理2-7，则.

证明，，使得

，

.

將上述两个式子相乘得到

.

故而：.利用次，命题即可得证.

3 最大公因式的求法

除了辗转相除法，我们还可通过以下方法求得多项式的最大公因式.

3.1 因式分解法

定理3-1[1] 设为中的两个多项式例，且的标准分解式分别为：，.

其中a、b分别是的首项系数，是两两不等的首项系数为1的不可约多项式，，是非负整数，则

，这里.

例1，，求，的最大公因式.

解 因式分解，，则得：

， ，

所以.

3.2 运用矩阵的初等变换法，求解多项式的最大公因式

定义3-2[6]矩阵，经过初等变换变换为

，

那么为的最大公因式，.

例2，，求，的最大公因式.

解

即.

参考文献

[1]王萼芳，石生明.高等代数[M].3版.北京：高等教育出版社，2003.

[2]柯召.数论讲义[M].北京：高等教育出版社，1986.

[3]农利伟.求解多项式最大公因式的一个算法[J].广西师范学院学报，2010，27（5）：44-47.