高考数学创新型试题的背景

从1999年起,我国高考数学命题就把“能力立意”作为命题的核心理念和根本原则。“能力立意”的核心是考查思维能力、创新意识和实践能力。创新型试题是考查学生创新意识最好的题型之一。高考数学创新型试题是指从测量考生的发展性学习和创造性学习着手突出能力考查的新颖问题。高考数学创新型试题一般都有深刻的背景。因此,对创新型试题的背景的研究已成为高考研究的热点问题。本文拟从教材背景、高等数学背景、实际生活背景、新课程改革背景、竞赛数学背景、数学文化背景等角度,对高考数学创新型试题的背景作初步分析,供大家参考。

一、 教材背景

教材是学生学习之基础,高考命题之根本.从高考试题的题源来看,教材是试题的主要来源,是高考命题的基本依据和出发点,历年高考试卷中都有一些试题直接出自于教材或由教材上的例、习题改编而成。如2007年高考数学四川卷超过一半的试题在教材中都能找到原型或出处,理科的第1、2、3、4、5、10、13、14、15、16、17、22(Ⅰ)等题直接出自于教材或由教材上的例、习题改编而成。完全离开教材的新课教学和高三复习,会偏离高中数学课程的重心,事倍功半,效率低下。当然,依赖于教材的复习,不是照本宣科或简单重复,需要对教材进行纵向和横向的整合,纵向整合教材有助于知识的螺旋式深化,实现知识网络向认知网络的有效转化。横向整合教材就是通过构建横向问题系统,也即构建知识的网络,使数学知识系统以不同问题方式展现出来,使学生在不同方式的问题认知过程中实现认知结构的整体优化。如证明不等式,可以用配方法、换元法、判别式法、分析法、反证法、基本不等式法、数学归纳法、放缩法等基本方法,也可以利用函数的性质、向量、不等式的性质、三角函数、解析几何、导数等基础知识,还可以用数学思想(如数形结合思想、分类与整合思想、函数思想、参数思想等)。这就要求学生从多个角度、多种方法看待问题和解决问题,这对培养学生的发散思维和思维的灵活性是有益的,并能优化解题策略,提高解题效率。高考命题重视由教材的知识、例题、习题生成试题,既可保证试题的公平性,又对抑制题海战术有一定的积极作用,对中学数学教学有良好的导向作用。因此,应大力提倡由教材编拟高考试题。

(Ⅲ)求出满足等式3n+4n…+(n+2)n=(n+3)n的所有正整数n。

点评:(Ⅰ)中的不等式就是著名的贝努利不等式,它是以前人教社教材上的一个例题,2003年4月教育部颁布的《普通高中数学课程标准(实验)》(以下简称《标准》),已将它安排在选修系列4第5专题“不等式选讲”除以(n+3)n,再利用第(Ⅱ)问的结论,并排除n不小于6的情况,问题便可解决。本题第(Ⅰ)问可看成源于教材(或课程标准),第(Ⅱ)问需要利用(Ⅰ)的结论,第(Ⅲ)问要利用(Ⅱ)的结论,三个问题逐步深入,其解题的主要方法是“套公式”。从本质上讲,这个让考生感到很难的压轴题可以归结为用教材的知识和方法来解决。

二、 高等数学背景

高等数学的一些基本思想和基本问题为设计创新型试题提供了广阔而又深刻的背景,这是因为高等数学为背景试题能有效考查学生学习的潜能。许多高考创新型试题都有比较深刻的高等数学背景,这类题目立意深远、形式新颖,在平常教学中很少碰到,考生遇到这类题目,会感到难以入手,一般需要自主学习和分析新的材料,并对新的数学信息进行迁移,才能解决问题。

例2 (2006年全国卷Ⅰ理科第21题)已知函数f(x)=对任意的实数x∈(0,1)恒有f(x)>1,求a的取值范围。

点评:本题(Ⅱ)小题含有拉格朗日中值定理的背景。

例3 (2008年福建卷理科第16题)设P是一个数集,且至少含有两个数,若对任意a,b∈P都有a+b、a-b、ab、∈P(除数b≠0),则称P是一个数域。例如有理数集Q是数域;数集F=a+│a,b∈Q也是数域,有下列命题:

①整数集是数域;

②若有理数集Q?哿M,则数集M必为数域;

③数域必为无限集;

④存在无穷多个数域。

其中正确的命题的序号是_________.(把你认为正确的命题的序号填上)

点评:本题以近世代数中“域”的概念为背景,可谓背景深刻,能有效考查思维的抽象性、深刻性、发散性和创造性。

例4 (2006年广东卷理科第20题)A是定义在[2,4]上且满足如下条件的函数?渍(x)组成的集合:①对任意的x∈(1,2),都有?渍(2x)∈(1,2);②存在常数l(0

例5(2005年全国卷I理科第22题)

(Ⅰ)设函数f(x)=xlog2x+(1-x)log2(1-x)(0

(Ⅱ)设正数P1,P2,P3,…,P2n满足P1+P2+P3+…+P2n,证明

P1log2P1+P2log2P2+P3log2P3+…+P2nlog2P2n≥-n.

点评:本题是以函数g(x)=xlog2x的凹凸性为背景设计的。第(Ⅱ)问特别难,它含有琴生不等式的背景。两个问题若用琴生不等式来解可在几步内完成。以函数的凹凸性为背景的试题比较多,比如2004年全国卷理科第22题,2006年全国卷Ⅱ理科第20题,2006年四川卷理科第22题等。

以高等数学为背景的试题很多,几乎在每年的各套试卷中都可找到。需要指出的是,不宜将高等数学的一些定理和背景知识作为教学的补充内容,因为这样做既会加重学生学习的负担,也与高考考查创新型试题的初衷相悖。

三、 实际生活背景

数学来源于生活,又能解决实际生活中的一些问题。因此,高考命题重视对实际应用问题的考查。应用题是对考生“综合实力”的考查,是考查能力与素质的良好题型,近几年应用题的编拟更加重视语言简洁、准确,背景清新、近人,模型具体、简明,方法熟悉、简便,所涉及的都是数学基本内容、思想和方法,摒弃繁琐的数学运算,突出了对数学思想、方法和实践能力的考查。

例6 (2009年江西卷理科第11题)一个平面封闭区域内任意两点距离的最大值称为该区域的“直径”,封闭区域边界曲线的长度与区域直径之比称为区域的“周率”,下面四个平面区域(阴影部分)的周率从左到右依次记为r1,r2,r3,r4,则下列关系中正确的为( )。

(A)r1>r4>r3(B)r3>r1>r2 (C) r4>r2>r3 (D)r3>r4>r1

点评:本题图案优美,情境生动,颇有生活气息。命题者以高等数学中的“区域”、“区域的直径”等基本概念为背景,将中国古代极富哲理思想的“太极图”和我国国旗的“五角星”为基本素材,巧妙将日常生活中的太极图、五角星联系起来,颇富生活情趣。本题主要考查观察、估算等直觉思维能力,并考查割补变换的意识和简单的运算能力。此题体现了“生活中有数学”的理念,真是一道好题。

四、 新课程改革背景

最近几年,一些创新型试题命制的价值取向是重视新课程的背景,体现《标准》的精神,出现了不少以新课程改革为背景的新题好题。如2008年全国卷Ⅰ理科的第10题涉及选修4-5“不等式选讲”中的柯西不等式的背景;全国卷Ⅱ理科的第16题涉及选修1-2“推理与证明”中的类比推理;北京卷理科第14题涉及选修3-2“信息安全与密码”的数论函数(高斯函数)、选修4-3“数列与差分”的差分方程组;重庆卷理科的第22题和湖北卷理科的第15题都有选修1-2“推理与证明”中的归纳推理(猜想)的背景;湖南卷理科的第10题涉及“新定义”的自主学习与主动探究,江西卷理科的第16题也涉及主动探究;陕西卷理科的第12题涉及到选修3-2的信息安全与密码。又如2009年全国卷Ⅰ理科的第22题考查了考生动手画图的技能(已多年未考);全国卷Ⅱ理科的第10题以高中选修课的选课为背景考查排列组合,第12题要将正方体的平面展开图通过折叠还原为正方体,考查学生的实际操作能力;北京卷理科第8、20题通过阅读理解、信息迁移考查学生分析问题和解决问题的能力;湖北卷理科的第8、12、13等题通过“家电下乡”、“直方图”、“‘中星九号’卫星覆盖区域”等情境考查了考生的数学应用意识,第10题以古埃及的数学为背景考查了选修1-2“推理与证明”中的归纳推理(猜想);四川卷理科第16题,上海卷理科第22题,湖南卷理科第8、21题的涉及“新定义”的自主学习与主动探究;江西卷理科第11题、四川卷文科第5题(黄金矩形)涉及“数学文化”,江西卷理科第17、22题体现了数学的结构美;上海卷理科第20题(文科第21题)以学习心理学的理论为背景,考查了分析问题、解决问题以及应用电子计算器进行近似计算的能力;海南(宁夏)卷理科第17题要求考生设计一个方案(包括指出需要测量的数据,用文字和公式写出计算两点距离的步骤),体现了数学建模思想,有效考查了分析问题和解决问题的能力,等等。这些创新型试题立意鲜明、设计巧妙、影响深远,它们充分体现了新课程理念,对高中数学教师认真学习和研究《标准》以及实施高中数学课程改革起到了很好的导向作用。当然,课改实验区的试卷如广东卷、海南(宁夏)卷、山东卷、江苏卷等更加充分地体现了新课程理念,值得认真研究。

五、 竞赛数学背景

设计以竞赛数学为背景的试题,对绝大多数未参加竞赛培训的考生是不公平的,因此,高考命题不宜以竞赛数学为背景设计试题。如果真想设计以竞赛数学为背景的试题,那么需要设计一些“梯子”(必要的提示),让考生有梯可攀,这样就可消除竞赛味,体现高考公平。

例7 (2007年四川卷理科第21题)已知函数f(x)=x2-4,设曲线y=f(x)在点(xn,f(xn))处的切线与x轴的交点为(xn+1,0)(x∈N*),其中x1为正实数。

(Ⅰ)用xn表示xn+1;

(Ⅱ)求证:对一切正整数n,xn+1≤xn的充要条件是x1≥2;

(Ⅲ)若x1=2,记an=lg,证明数列an成等比数列,并求数列xn的通项公式。

点评:本题考查了递推数列,暗含了高等数学中不动点的思想,第(Ⅲ)问巧妙设计了一个辅助数列,好比给考生一个梯子,使考生有梯可攀,非常巧妙地利用了竞赛题的背景但又没有竞赛味,这样设计对参不参加数学竞赛培训的考生都是公平的.

六、 数学文化背景

例8 (2007年北京卷文理科第13题)2002年在北京召开的国际数学家大会,会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的。弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图)。如果小正方形的面积为1,大正方形的面积为25,直角三角形中较小的锐角为θ,那么cos2θ的值等于。

点评:本题以数学史中我国古代数学家赵爽的弦图为背景,考查三角变换公式和平面几何的有关知识。此题的难度虽不大,但试题的背景材料非常新颖,展示了数学文化的魅力.试题以2002年8月在北京召开的国际数学家大会为背景,大会的会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的。体现了古代数学家智慧与当代数学家成就的融合。赵爽是我国古代(三国时期)著名的数学家,赵爽的弦图是他在《勾股方圆图注》中,为证明勾股定理所创造的图形。这个美妙的弦图被2002年国际数学家大会作为会徽,表达了当代数学家对我国古代数学家赵爽的数学智慧的敬仰。赵爽利用他的弦图,通过大正方形的面积等于小正方形的面积加上四个直角三角形的面积的计算,简洁明快地证明了著名的勾股定理(在西方又称毕达哥拉斯定理)。这种以我国古代数学史为背景的试题,使考生受到数学文化的教育,对于激发考生的民族自豪感,学习数学家的探索精神是有益的。

参考文献

[1] 赵思林.关于高考数学创新型试题的几个特点. 数学通报,2009,48(4):50-53.

[2] 慧力.三年高考四川卷数学试题分析.内江师范学院学报,2008,23(12):76-80.

[3] 教育部考试中心.普通高等学校招生全国统一考试大纲(理科·2009年版).北京:高等教育出版社,2009.300-302.

[4] 赵思林.高考数学创新型试题的几种类型.(人大复印)中学数学教与学,2009(5)(上半月):38-40,44.

(责任编辑刘永庆)