基于新知识背景的2012高考数学试题研析

2022-03-12 08:18:09 | 浏览次数：

课标课程背景下，数学教学日益注重思维能力的培养和思想方法的渗透.为了考查学生数学能力以及学习潜能，高考数学试题越来越注重以“新知识”为背景来命制试题.2012年的高考试题中不乏基于“新知识”为背景的试题.这类试题通过创设新颖的知识情境考查知识迁移能力，通常没有固定形式化的解法，强调多思少算，以知识为载体侧重考查思维能力和思想方法，突出试题“立意鲜明，背景新颖，设问灵活，层次清晰”的特色．

本文将对新知识背景下的2012高考数学试题进行一些初步的研析．

1 基于图论知识的高考试题研析

例1 （2012高考福建卷·文16）某地图规划道路建设，考虑道路铺设方案，方案设计图中，点表示城市，两点之间连线表示两城市间可铺设道路，连线上数据表示两城市间铺设道路的费用，要求从任一城市都能到达其余各城市，并且铺设道路的总费用最小.例如：在三个城市道路设计中，若城市间可铺设道路的路线图如图1，则最优设计方案如图2，此时铺设道路的最小总费用为10．

现给出该地区可铺设道路的线路图如图3，则铺设道路的最小总费用为．

评析试题命制背景源于数学的一个分支——图论.图论以图为研究对象.其中的图是由若干给定的点及连结两点的线所构成的图形，这种图形通常用来描述某些事物之间的某种特定关系，用点代表事物，用连接两点的线表示相应两个事物间具有这种关系．

本题以实际问题为背景考查学生应用意识，以图论知识为载体考查学生分析问题和解决问题的能力.该题内涵深刻，思想丰富.它既考查了学生自然语言与数学语言的互译能力，又考查了学生合情猜想与推理能力．

2 基于分析学知识的高考试题研析

例2 （2012高考福建卷·理7）设函数D（x）=1，x为有理数0，x为无理数，则下列结论错误的是（）

A.D（x）的值域为｛0，1｝

B.D（x）是偶函数

C.D（x）不是周期函数

D.D（x）不是单调函数

评析本题以分析学知识——狄利克雷函数为背景来命制.试题以“新函数”为媒介，以函数相关知识为依托，在考查知识的同时侧重考查能力.它要求学生对函数单调性和周期性等基本性质有较深刻的认识，在理解的基础上分析“陌生”函数并解决问题.本题侧重考查对知识的理解、应用以及分析解决问题的能力，从而检测学生个体思维的广度和深度以及进一步学习的潜能．

例3 （2012高考福建卷·理10）函数f（x）在［a，b］上有定义，若对任意x1，x2∈［a，b］，有f（x1+x22）≤12［f（x1）+f（x2）］，则称f（x）在［a，b］上具有性质P．设f（x）在［1，3］上具有性质P．现给出如下命题：

①f（x）在［1，3］上的图像是连续不断的；

②f（x2）在［1，3］上具有性质P；

③若f（x）在x=2处取得最大值1，则f（x）=1，x∈［1，3］；

④ 对任对意x1，x2，x3，x4∈［1，3］，有f（x1+x2+x3+x44）≤14［f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）］．

其中真命题的序号是

A.①② B.①③ C.②④ D.③④

评析试题背景源于分析学知识中凸函数的定义.设f为定义在区间I的函数，若对I上的任意两点x1，x2和任意实数λ∈（0，1）总有f（λx1+（1-λ）x2）≤λf（x1）+（1-λ）f（x2），则称f为I上的凸函数.题中性质P就是当λ=12时的凸函数性质．

本题主要以函数相关知识为载体来考查学生的各种数学能力，充分体现了高考命题 “以能力立意”的指导思想.它通过较长的题干考查阅读理解能力，凭借“新性质P”创设新颖情境考查知识迁移及应用能力，借助函数知识以及“新性质P”考查学生的分析和推理能力．

例4 （2012高考湖北卷·理22）

（1）已知函数f（x）=rx-xr+（1+r）（x>0），其中r为有理数，且0

（2）试用（1）的结果证明如下命题：

设 a1≥0，a2≥0，b1，b2为正有理数，若b1+b2=1，则ab11ab22≤a1b1+a2b2；

（3）请将（2）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题．

（注：当α为正有理数时，有求导公式（xα）′=αxα-1．）

评析试题背景源于分析学知识——詹森（Jensen）不等式：

若f为［a，b］上的凸函数（凹函数），则对任意

xi∈［a，b］，λi>0（i=1，2，…，n），∑ni=1λi=1，有f（∑ni=1λixi）≤∑ni=1λif（xi）（f（∑ni=1λixi）≥∑ni=1λif（xi））．

本题主要考查多项式函数的求导，应用导数求函数的最值，证明不等式等知识.它从学科整体意义和思想价值立意，侧重考查对知识的理解和综合灵活应用，在知识理解应用过程中考查学生运算求解能力、推理论证能力以及分类讨论的思想方法.对数学能力和思想方法的考查必须以数学知识为载体.因此，试题隐藏在考查知识的表象下，其实是着重考查蕴涵在数学知识应用过程中的思维能力和思想方法．

3 基于数论知识的高考试题研析

例5 （2012 高考湖北·文17）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家常在沙滩上画点或用小石子表示数.他们研究过如下图所示的三角形数：

将三角形数1，3，6，10，…记为数列｛an｝，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列｛bn｝．可以推测：

（Ⅰ）b2012是数列｛an｝中的第______项；

（Ⅱ）b2k-1=______．（用k表示）

评析试题设计背景源于著名的三角形数.本题主要考查数列知识，要求学生能在具体的问题情境中识别数列的递推关系并能用相关知识解决相应问题.此题非常符合“立意鲜明，背景新颖，设问灵活，层次清晰”的特色.它将知识置于新情境中，侧重考查抽象概括能力、归纳推理能力以及特殊与一般的思想方法.这样将知识、能力以及思想方法融入一题进行考查便于有效地检测学生的数学素养．

例6 （2012 高考湖北卷·理13 ）回文数是指从左到右读和从右到左读都一样的正整数，如22，121，3443，94249等.显然2位回文数有9个：11，22，33，…，99．3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999．则

（Ⅰ）4位回文数有＿＿＿＿个；

（Ⅱ）2n+1（n∈N+）位回文数有_______个．

评析试题以有趣的回文数为背景来进行命制.本题通过直接给出回文数概念来考查排列组合知识以及数学学习和理解能力，侧重考查学生利用排列组合知识分析解决问题的能力.它通过创设新颖有趣的背景，进而在新的知识背景中考查排列组合知识的掌握以及应用，使得对相关知识的考查变得更加深入．

4 基于新定义知识的高考试题研析

例7 （2012高考福建卷·理15）对于实数a和b，定义运算“*”：a*b=a2-ab， a≤b

b2-ab， a>b，设f（x）=（2x-1）*（x-1），且关于x的方程为f（x）=m （m∈R），恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是_______．

评析试题背景源于抽象的代数运算.本题主要考查函数综合知识及应用，以知识为载体考查思维能力以及蕴含于其中的思想方法.它通过定义新运算“*”，考查数学符号的理解运用能力和知识迁移能力；通过在分析解决问题中考查运算求解能力以及分类讨论、数形结合、函数与方程、化归与转化的思想方法，从而检测学生对数学知识中所蕴涵的思想方法的掌握程度．

例8 （2012 高考江西卷·理21）若函数h（x）满足：

（1）h（0）=1，h（1）=0；

（2）对任意a∈［0，1］，有h（h（a））=a；

（3）在（0，1）上单调递减．

则称h（x）为补函数.已知函数h（x）=（1-xp1+λxp）1p（λ>-1，p>0）．

（1）判断h（x）是否为补函数，并证明你的结论；

（2）若存在m∈［0，1］，使得h（m）=m，若m是函数h（x）的中介元，记p=1n（n∈N+）时h（x）的中介元为xn，且Sn=∑ni=1xi，若对任意的n∈N+，都有Sn<12，求λ的取值范围；

（3）当λ=0，x∈（0，1）时，函数y=h（x）的图像总在直线y=1-x的上方，求p的取值范围．

评析试题通过直接给出补函数的概念，赋予背景新颖性.本题主要考查利用函数、导数、不等式等相关知识解决问题的能力以及函数与方程、分类与讨论和等价与转化的思想方法.它注重数学学科的内在联系和知识综合性，在函数与不等式交汇处设计试题，使对数学知识的考查达到必要的深度．

纵观2012年高考数学试题，可谓精彩纷呈.以新知识为背景的高考试题为高考增添了新的血液，使高考试题更加丰富多样，更具创新性.新颖独特的试题不仅是甄别学生数学能力和数学素养的有效工具，同时也是考查学生应用意识和创新意识的有力手段.因此，命制与研析以新知识为背景命制的试题具有一定的意义与价值.

作者简介余莉（1989—），女，江西抚州人，福建师范大学数学与计算机科学学院，硕士，主要研究课程与教学论（数学）．

杜蕊（1987—），女，北京人，福建师范大学数学与计算机科学学院，硕士，主要研究课程与教学论（数学）．