伯努利兄弟（上）

心得体会写成日记（称为“沉思录”）.这些日记后来成为他许多著作的基础.前面我们提到，高等数学如果没人指点，很难开窍.于是，他开始到各个先进国家去游学.在17世纪，数学和科学先进的国家共有四个：英国、法国、尼德兰（荷兰）以及德国（当时还没有统一）.在每个学术中心他都呆了很长的时间，去结识当地的学者、专家.比如，他在德国一呆就是两年.虽说他家里很有钱。可他并不是啃老族.他在国外一边学，一边工作.那时同现在差不多，合适的工作不好找.雅各找到了两种工作.一是当私人数学教师，一是当临时牧师帮助布道.工作之余他深人研究数学，不久就发表了论文，名气也越来越大.1683年，巴塞尔大学请雅各任教.1687年他升为数学教授，一直干到50岁英年早逝.当时.他的名气仅次于牛顿和莱布尼茨.1799年，他们三位都被选为法国科学院的第一批国外院士（共有8位）.

雅各·伯努利的贡献很多，按学科分有解析几何、微积分、变分法、无穷级数、微分几何、组合理论以及概率论等.但其中有些成就，特别是微积分和变分法，我们很难分辨是雅各的成就还是他弟弟约翰的成就.为此兄弟两人也打的不可开交.而在其他方面，特别是那些挂上伯努利名字的，可以说都是雅各的贡献，比方像伯努利数、伯努利多项式、伯努利双纽线（图2）、伯努利试验、伯努利分布、伯努利大数定律。甚至伯努利（微分）方程.这些知识也许每个都超出了中学生能够理解的范围，然而我还是愿意做一点儿普及，来启发那些对数学感兴趣的同学.

其实，漂亮的数学都是从最简单的问题开始的.现在，差不多任何人都知道1+2+3+…+100的那个有趣的故事了.如今，差学生和较好学生的差别主要是看谁能较快地得出正确答案来.当然，在较好的学生中还有更好的学生，他能提出更一般的问题，并加以解决.例如，1+2+3+…+200或1+2+3+…+199各等于多少？当然，这些也都不难.更有数学素养的人则会探讨1+2+3+…+n的一般公式.其实，早在高斯之前，早在伯努利之前，数学家们就已经知道，这只不过就是一个最简单的等差级数求和问题.

数学家和普通人的不同之处就在于他们会考虑更一般的问题——等幂和的问题：

1²+2²+3²+…+n²=？

1³+2³+3³+…+n³=？

……

1^k+2^k+3^k+…+n^k=？

这样，一下子所有人都傻了.能提出问题当然不错，但能解决问题就更棒了.这个时候，所有人都变成了“高斯的同学”，会先一个一个地傻算，然后造出个表来.从理论上讲，只要你有足够的耐心，愿意花足够多的时间，就可以得出结果来.在雅各·伯努利之前，已经有人编写出了前几位数的2次方到6次方的和的表了.这可是一大本书，想想看吧.雅各·伯努利就相当于算等幂和的高斯，他得出了所有等幂和的公式！比如，他算出

1¹⁰+2¹⁰…+1000¹⁰

=91 409 924 241 424 243 424 241 924 242 500.雅各的公式中出现了一系列的分数B₀，B₁，B₂，…，B_n，…，它们被后人称为伯努利数.在没有计算机的时代，算等幂和十分钟也就了事！神吧？伯努利数可不止这点儿用处，从代数数论到微分拓扑，好多地方都有它的身影.喏，这就是高等数学了.

三、约翰·伯努利

伯努利家族经过五代的拼搏.产生了第一位伟大的数学家——雅各·伯努利.但第一有第一的难处，一切都要从头做起.以微积分为例，虽然是牛顿首先发明了微积分，但一直没有发表论文.别人问他，他也不会仔细地告诉他们.到了17世纪80年代，德国的莱布尼茨发表了他独立发明的微积分，但论文也很难懂.雅各在1687年写信向莱布尼茨求教.莱布尼茨可不像牛顿，他喜欢同别人沟通、交流，但可惜莱布尼茨这时正在各地旅游，没有收到信.于是雅各只好自己钻研，最后终于搞明白了莱布尼茨的两篇论文.雅各又把自己的心得体会加了进去。并教给别人，其中就包括他的弟弟约翰·伯努利.到了1690年以后，兄弟两人都和莱布尼茨通上了信，这便开始发展成为人数众多的“大陆学派”.

雅各和约翰的父亲没有搞独生子女政策，他一共有十个子女，雅各是老五，约翰则差不多是最小的.父亲同样也干涉约翰的志愿，他希望约翰子承父业去经商.年轻人多少都有点儿叛逆心理.同哥哥一样，约翰反倒选择了学术事业.1683年约翰进入巴塞尔大学，1685年取得艺术硕士学位.在三大专业中，他又选择了医学专业，读了五年，1690年取得医学硕士学位，并在1694年取得博士学位.博士论文是关于肌肉生理学方面的.显然这是医学的一个重要课题.不过他并没有去当医生，而是同他哥哥一块儿搞起了数学研究.1687年是关键的一年，那一年最重要的事情当然是牛顿出版了他的巨著《自然哲学的数学原理》.显然，伯努利兄弟还不能很快地理解它.雅各刚刚弄懂莱布尼茨发表的两篇微积分论文，便兴高采烈地教给了他的弟弟约翰.那年约翰刚满20岁，跟着哥哥成为了懂微积分的第四个人.兄弟两人都有足够的天分，他们不仅能够理解莱布尼茨的开创性工作，而且能够加以发展，用来解决各种前沿问题.

师傅领进门，修行在个人.约翰很快就感觉到生活在哥哥的影子中并不愉快.雅各比约翰大12岁还多.人们自然会以为约翰的论文少不了哥哥的帮忙.为了摆脱哥哥的影响，既然雅各已经取得了巴塞尔大学的数学教席，约翰就只好去别处找工作了.

（未完待续）