利用特征线法求解方程u,+b·Du+cu=f（x，t）的初值问题

2022-03-18 09:52:38 | 浏览次数：

【摘要】本文研究具有初值条件u（x，0）=g（x）的方程u+b·Du+cu=f（x，t）的初值问题。方程u+b·Du+cu=f（x，t）是具有常系数的一阶非齐次线性偏微分方程，这类方程在变分法、质点力学和几何学中都出现过，因此研究这类方程的目的是更好地应用于这些学科。求解这类方程的最基本方法是特征线法。它是把偏微分方程转化为常微分方程或常微分方程组，通过求解这些常微分方程得到所要求的解。本文分别运用特征线法以及特征线法的特殊情况求解了该初值问题，两种方法所得到的解是一致的，都是u（x，t）=g（x-bt）（x+b（u-t），u）du。因此，有了通过特征线法所求得的该初值问题的解的公式，我们可以更好地研究相关的一些实际问题。

【关键词】线性偏微分方程；初值问题；特征线法；常微分方程

0 引言

1）初值问题

其中，c∈R1，b=（b1，b2，…，bn）∈R都是常数。x=（x1，x2，…，xn）是n维空间变量，t是时间变量（x，t）是已知函数。

2）分析

上述初值问题中的方程（1）是一阶非齐次线性偏微分方程，在大多数常微分方程和偏微分方程教程中，一阶偏微分方程通常受到简单的处理，原因之一是具有很明显应用意义的偏微分方程即位势方程、热传导方程和波动方程等都是标准的二阶偏微分方程。实际上，一阶偏微分方程在变分法、质点力学和几何光学中都出现过，在流体力学、空气动力学和其它工程技术等领域有着广泛的应用。例如在种群分析中，个体（不必是生物体，如生产的产品如灯泡、晶体管、食品或更一般的任一类似的物品的集合）根据统计样本随着时间的变化会变得不合格，因此研究一阶偏微分方程有着实际意义。

一阶偏微分方程的特点是：其通解可以通过解一个常微分方程组而得到，称这种求解方法为特征线法[1]。而高阶偏微分方程和一阶偏微分方程组没有这个特点。特征线法是一种重要又实用的方法，利用该方法证明了半有界弦振动的一维半线性波动方程的间断初边值问题的分片光滑解的全局存在性定理[2]；用该方法给出了一类仓库货物储存模型解的递推表达式，并证明其光滑性从而得到了经典解的唯一性[3]；通过运用特征线法，讨论了无粘性Burgers方程柯西问题解的衰减估计，并给出了证明[4]；运用特征线法给出了Born-Infeld方程的显式表示[5]等等。特征线法除了可以运用于理论证明，也可以用于数值计算和一些实际问题的解决。

在方程（1）中令c=0，该方程退化为非齐次传输方程，该初值问题变为非齐次传输方程的初值问题。传输方程的初值问题已经得到解决，并且得到了古典解，受其启示，我们来研究初值问题（1）～（2），通过推导来寻找该初值问题的古典解。方程（1）是一阶偏微分方程的其中一种情况，因此我们可以利用特征线法来研究初值问题（1）～（2）。

1 解题思路

1.1 利用特征线法来求解该初值问题

初值问题有解的理论保证为下面定理：

定理[6]设曲线γ：（x，y，z）=（f（s），g（s），h（s））光滑，且（s

之下，就能够由（5）前n个式子解出s1，s2，…，s，将它们代入（5）的第n+1个式子，就得到积分曲面z=u（x1，x2，…，xn），它就是初值问题的解。

因为线性偏微分方程可以看作是拟线性偏微分方程的特殊情况，因此由以上对方程（3）的初值问题的处理，我们来解决初值问题（1）～（2）。

设参数τ=0时的初始超曲面是

它就是我们所要求的初值问题的解。

1.2 利用特征线法的一种特殊情况求解，这是一种更直接、更直观的求解方法

设方程[7-9]

有光滑解u（x，t）。由方程的形式可以看出，u（x，t）沿一个具体的方向的方向微商等于零。

事实上，固定一点（x，t）∈Rn+1，令