随机利率下定额期权定价

摘 要:为使股票模型和利率模型更贴近且反映金融市场实际情况,建立了股票价格遵循指数O-U(Ornstein-Uhlenback)过程模型的随机微分方程。在随机利率服从Vasicek利率模型情况下,利用随机分析理论及鞅方法,获得了定额期权看涨定价公式。

关键词:Vasicek模型 指数Ornstein-Uhlenback过程 定额期权 鞅方法

中图分类号:O175.2文献标识码:A文章编号:1674-098X(2011)04(c)-0234-01

期权定价是现代金融数学研究的核心问题之一,经典的Black-Scholes定价公式[1]是应用最广泛模型。文献[2]提出了一种股价服从O-U过程模型。

1 市场模型基本假设

1.1 O-U过程模型基本假设

考虑一个连续时间无套利的完备金融市场.有一种风险证券(如股票),在t时刻价格过程S(t)满足随机微分方程:

,且,

(1)

引理[3]:假设股价过程满足广义指数O-U过程模型(1),令若,则存在唯一与概率测度P等价的概率测度Q,满足使得在概率测度Q下折现过程是一鞅过程。若令则由Girsanov定理可知,在概率测度Q下是一个Brown运动,且股票价格过程S(t)满足(由Doleans-Dade指数公式可得)。 (2)

1.2 短期Vasicek利率模型基本假设

在等价鞅测度Q下,市场为风险中性此时设利率过程满足随机微分方程:,且; (3)

模型(3)即Vasicek为短期利率模型。

2 定额期权定价公式

定额期权[4]是活跃在金融市场的一类变异期权,定额期权在到期时,只要该期权有效,期权收益将为一个定值或定额A,如果期权无效,那么期权收益为零。定额期权分为两种:全有(定额为A)或全无(零)。

定理2:股价服从广义指数O-U过程模型(1),利率满足短期Vasicek利率模型(3),收益定额为A,执行价格为K,到期日为T的欧式定额看涨期权的定价公式为:其中是标准正态分布的累积概率

ds

d

证明,根据资产定价基本定理,市场无套利的等价条件为存在等价鞅测度,使得所有证券的折现价格过程为鞅。

由公式(3)及Ito公式得:由随机富比尼定理知:

(4)

由公式(4)得:

,(5)

由公(3)及得:

(6)

把公式(6)带入公式(5)得:

参考文献

[1]BLACK, SCHOLES M. The pricing of options and corporate liabilities[J].Journal of Political Ec-onomy ,1973,81:133-155.

[2]林建华,王福昌.冯净海股价波动的指数O-U过程模型[J].经济数学,2000,17(4):29-32.

[3]郑晓阳,刘兆鹏.基于O-U过程的具有不确定执行价格的期权定价[J].哈尔滨工程学报,2008,29(11):1232-1235.

[4]杨建奇,蒋秋艳.O-U过程模型下定额期权的定价[J].湖南科技学院学报,2009,30(4):18-21.

“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”