能被整除的整数特征

摘要:探讨了整除与同余之间的关系,给出了时能被整除的整数的特征,同时给出了能被某些或某一类的整数整除的整数的特征及一些具体的形式。

关键字:整除;同余;整数特征;互素

中图分类号:O15文献标识码:A文章编号:1003-2851(2010)09-0098-02

1. 引言

整除问题是初等数论研究的一个基本而有趣的问题,尤其是寻找一些数的整除特征一直吸引着许多数学爱好者.例如,能被3、9、11等数整除的整数特征,在许多文献中如《初等数论》、《数论妙趣》等中可以看到。在徐兆强教授编著的《初等数论》中一个同余例题:a>0,证明17|a?圳将a的个位数字截去,然后减去个位数字的5倍后能被17整除。我们将其推广至一个与10互素的整数整除正整数的充要条件。与10互素的整数分为四类:10k+1、10k+3、10k+7、10k+9(k∈Z),以下分别进行了讨论.为此先给出下面几个引理:

引理1[1]:a=b(modm)?圳m|a-b或a=b+mt(t是实数)

引理 2[1]:a=b(modm),b=c(modm)?圯a=c(modm)

引理 3[3]:(c,m)=1,ac=bc(modm)?圯a=b(modm)

2.主要定理和推论

2.1 能被10k+1(k∈Z)整除的整数特征

对于与10互素的一种类型的整数,比如11、21等,我们有下面的结论.

定理1设a是大于0的整数,则10k+1(k∈Z)|a?圳将a的个位数字截去,然后减去个位数字的k(k∈Z)倍后能被整除.

证明见文献[4].

定理2a是大于0的整数,10k+1(k∈Z)|a?圳将a的个位数字截去,然后加上个位数字9k+1(k∈Z)的倍后能被10k+1整除.

证明 设 a=10x+y,0≤y≤9

有a=10(x+(9k+1)y)-9(10k+1)y

根据引理1 可得

a=10(x+(9k+1)y)(mod(10+1))

由引理2 得

a=0(mod(10k+1))?圳10(x+(9k+1)y)=0(mod(10k+1))

又(10k+1,10)=1 ,

再由引理3 得到10(x+y)=0(mod(10k+1))?圳x+(9k+1)y=0(mod(10k+1)?圳10k+1/x+(9k+1)y) 证完.

于是可得到下面熟知的一些结论:

推论1正整数能被11整除的充要条件是将该正整数的个位数字截去,然后减去个位数字后能被11整除.

推论2正整数能被101整除的充要条件是将该正整数的个位数字截去,然后减去个位数字后能被101整除.

2.2 能被10k+3(k∈Z)整除的整数特征

对于与10互素的另一种类型的整数,比如13、23等,我们也有下面的结论.

定理3正整数能被10k+3(k∈Z)整除的充要条件是把a的个位数字截去,然后加上个位数字3k+1(k∈Z)的倍后能被10k+3整除.

证明见文献[4].

类似地,我们也可以得到与定理3平行的结论:

定理4a是大于0的整数,10k+3(k∈Z)|a?圳将a的个位数字截去,然后减去个位数字的7k+2倍后能被10k+3整除.

证明 设a=10x+y,0≤y≤9

有 a=10(x-(7k+2)y)+7(10k+3)y

根据引理 1可得

a=10(x-(7k+2)y)(mod(10k+3))

由引理2 得

a=0(mod(10k+3))?圳10(x-(7k+2)y)=0(mod(10k+3))

又(10k+3,10)=1 ,

再由引理3 得到

10(x-(7k+2)y)=0(mod(10k+3))?圳x-(7k+2)y=0(mod(10k+3))?圳10k+3/x-(7k+2)y 证完.

于是也可得到下面熟知的一些结论:

推论3 a>0 ,证明13|a?圳将a的个位数字截去,然后减去个位数字的倍后能被13整除.

推论4a>0,证明23|a?圳将a的个位数字截去,然后加上个位数字的倍后能被23整除.

2.3 能被10k+7(k∈Z)整除的整数特征

对于与10互素的另一种类型的整数,比如7、27等,我们也有下面的结论.

定理5正整数a能被10k+3(k∈Z)整除的充要条件是把a的个位数字截去,然后减去个位数字的3k+2(k∈Z)倍后能被10k+7整除.

证明见文献[4].

类似地,我们也可以得到与定理5平行的结论:

定理6 a 是大于0的整数,则10k+7(k∈Z)|a?圳将a的个位数字截去,然后加上个位数字的7k+5(k∈Z)倍后能被10k+7整除.

证明 设 a=10x+y, 0≤y≤9

有 a=10(x-(7k+5)y)-7(10k+7)y

根据引理1 可得

a=10(x+(7k+5)y)(mod(10k+7))

由引理2 得

a=0(mod(10k+7))?圳10(x+(7k+5)y)=0(mod(10k+7))

又(10k+710)=1 ,再由引理3 得到

10(x+(7k+5)y)=0(mod(10k+7))?圳x+(7k+5)y=0(mod(10k+7))?圳10k+7/x-(7k+5)y 证完.

于是也可得到下面熟知的一些结论:

推论5 a>0 ,证明7|a?圳将a的个位数字截去,然后加上个位数字的倍后能被7整除.

推论6a>0,证明27|a?圳将a的个位数字截去,然后减去个位数字的倍后能被27整除.

2.4 能被10k+9(k∈Z)整除的整数特征

对于与10互素的另一种类型的整数,比如9、19等,我们也有下面的结论.

定理7正整数a能被10k+9(k∈Z)整除的充要条件是把a的个位数字截去,然后加上个位数字的k+1(k∈Z)倍后能被10k+9整除.

证明见文献[4].

类似地,我们也可以得到与定理7平行的结论:

定理8正整数能被10k+9(k∈Z)整除的充要条件是把的个位数字截去,然后减去个位数字的9k+8倍后能被10k+9整除.

证明设 a=10x+y,0≤y≤9

有a=10(x-(9k+8)y)+9(10k+9)y

根据引理1 可得

a=10(x-(9k+8)y)(mod(10+9))

由引理2 得

a=0(mod(10k+9))?圳10(x-(9k+8)y)=0(mod(10k+9))

又(10k+9,10)=1 ,

再由引理3 得到

10(x-(9k+8)y)=0(mod(10k+9))?圳x-(9k+8)y=0(mod(10k+9))?圳10k+9/x-(9k+8)y 证完.

于是也可得到下面熟知的一些结论:

推论7 a>0 ,证明9|a?圳将a的个位数字截去,然后减去个位数字的8倍后能被9整除.

推论8a>0,证明19|a?圳将a的个位数字截去,然后加上个位数字的2倍后能被19整除.

3.应用举例

我们仅就能被10k+1和10k+3(k∈Z)整除的整数给出下面两个例子.

例1不做除法,判断下面数能否被11整除.

解 注意到11属于10k+1(k∈Z)类型的整数,应用定理1时可使用下述较为方便的方法:

如26796被11整除?圳2679-6=2673被整除?圳267-3=264被11整除?圳26-4=22被11整除.因此,能够被11整除.

例2判断234567能否被13整除.

解 同样,注意到13属于10k+3(k∈Z)类型的整数,应用定理4时可使用下述较为方便的方法:

由题意可得,234567被13整除?圳23456-7(7+2)=23493被13整除?圳2349-3(7+2)=2322被13整除?圳232-2(7+2)=214被13整除?圳21-4(7+2)=-15被13整除.因此,234567不能够被13整除.

参考文献

[1] 徐兆强.初等数论[M].甘肃:甘肃教育出版社,1999.

[2] [美]阿尔伯特H贝勒著,谈祥柏译.数论妙趣[M].上海:上海教育出版社,2001.

[3] 陈晓东.一类数的整除特征[J],江西:江西金融职工大学学报,2006(6):305-306.

[4] 朱卫平.能被奇数整除的整数特征研究[J] ,浙江:湖州师范学院学报,2002(6):21-24.