组合数学的课程教学探讨

摘要：对在组合数学教学中遇到的问题进行探讨并总结了一些体会，以便提高学生分析和解决组合问题的能力。

关键词：组合数学；组合恒等式；数学思维

中图分类号：O157.5；G424.2 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2013）25-0089-02

一、引言

组合数学作为既古老又年轻的一个数学分支，它是研究离散对象的一门数学学科，是大学数学专业高年级学生的一门选修课程。学生经过大学两年或三年的专门数学专业训练后，已经有了一定的数学基础和数学思维能力。另外，学生在中学也学过一些简单的组合数学知识，例如简单的排列和组合问题，这些对于学习组合数学是有利的和必备的。在教学中，有相当一部分学生一开始认为组合数学在中学曾经接触过且又学了二三年的其他数学专业课程，学好组合数学是件不难的事情，但随着学习的深入，发现和自己想象中完全不同，这门课程不仅思维方式很独特，方法很难模仿，尤其是在解习题时不知从何着手，无所适从。针对这些情况，结合这些年的教学经验，笔者认为应注意以下几个方面。

二、加强数学概念教学

数学概念不仅是任何一门数学课程的起点，也是学好任何一门数学课程的立足点。组合数学也不例外。在实际教学中，有的教师认为只要教学生解决问题的方法就行了，至于概念的教学则一笔带过，概念的理解就是学生自己的事情，殊不知，概念理解的正确与否直接决定了学生组合数学学习好坏的程度。概念理解不清是不可能掌握正确解决问题的方法的，更谈不上在将来的数学研究工作中有所创新。因此，在组合数学教学中应注重概念教学，有意识地培养学生理清概念实质的能力。为了进一步理解组合数学中的一些概念，教师最好举一些实例加以说明。

例1 求从10名学生中任选3人组成一个数学学习兴趣小组及从10名学生中任选3人排成一列的方法数。

学生经过简单的思考后，可得知该问题的前半部分的本质是组合问题，而后半部分的本质是排列问题，因为前半部分和顺序无关，而后半部分和顺序有关。利用组合数和排列数的计数公式得前者为C■■=■，而后者为P■■=■。

例2 求20根不同的小木棒在文具盒里排成一行及20根小木棒有10根相同的红色木棒、6根相同的黑色木棒及4根相同的蓝色木棒在文具盒里排成一行的方法数。

先让学生仔细分析并挖掘这个例子字里行间的深层含义，教师必要的时候加以引导和提示，学生会发现前者是一般排列问题，而后者是可重复排列问题，利用排列和可重复排列的计数公式可得它们的方法数分别为P■■=20！和■。

三、注意组合数学与其他数学分支的交叉渗透

组合数学与其他数学分支有着紧密的联系，尤其是代数、分析和拓扑学等，在教学中一方面可讲授一些用组合数学解决代数、分析和拓扑学中的问题的实例，另一方面也可讲授一些用分析、代数和拓扑学解决组合数学问题的实例，从而让学生体会到数学的各个分支并不是孤立的而是互相交叉渗透的一个有机的整体，这样可拓展学生的数学思维，开阔他们的视野，并在将来的学习中能有意识地将不同的数学分支融合在一起。例如，在组合恒等式的证明中常用到分析学，甚至有时它是我们解决组合问题的关键技巧。

例3 证明：■■nk=■■ （n≥1）.

证明：令f（x）=■■nkx■，

则，f（0）=0，f（1）=■■nk

f"（x）=■（-1）■nkx■

=1+（1-x）+（1-x）2+…+（1-x）n-1，

即f"（x）=■（1-x）j.

上式两边同时求积分得：f（x）=-■■（1-x）j+1+C，

所以0=f（0）=-■■+C，C=■■=■■.

从而f（x）=-■■（1-x）j+1+■■，

■■nk=f（1）=■■.

四、注重学生创新思维的培养

组合数学不同于学生本科阶段的其他数学专业课程，通常不同的问题处理方法是不一样的。这就要求学生不墨守成规，要有较强的创新意识，在教学中教师应让学生多提问、多思考、多探索，找到解决问题的最佳途径并掌握数学研究的思维方法和一般规律，从而促进学生创新思想的培养。

组合数学的很多问题来源于现实的生产生活，由于生产生活的复杂性，导致它解决问题的方法灵活多变，没有固定模式，生搬硬套是解决不了组合数学问题的，因此教师有意识地对学生在处理复杂实际问题的创新能力方面的培养就更为重要了。例如，我们在城市交通线路方面的设计问题，在实际生活中既要交通尽可能畅通，又要节约资源，还要结合城市的实际，对线路进行限制等，这些都和方向图紧密相关。当然，随着城市的发展交通可能变得拥堵，解决该问题需增加合理的线路外，还要与曲面图的嵌入性理论紧密联系。在教学中，为了方便起见，教师可以某一个小城市为例，让学生尝试解决在多种不同条件下的交通线路设计问题，这样可培养学生的创新思维。

五、结语

教学是一个师生互动的过程，在教学中教师应与学生多交流，及时发现学生学习中出现的问题，调整改进自己的教学方法，这样才能不断地提高组合数学课程的教学质量。在教学中，教师不仅要关注学生对组合数学知识本身的学习，更要注重学生数学能力的培养与提高。

参考文献：

[1]李乔.组合学讲义[M].第二版.北京：高等教育出版社，2008.

[2]卢开澄.组合数学[M].第三版.北京：清华大学出版社，2002.

基金项目：重庆市自然科学基金科研项目资助（cstc2012jjA00041）；重庆市教委科研项目资助（KJ101204）

作者简介：龙述德（1972-），男，湖南邵阳人，博士，副教授，主要从事组合数学与图论方面的研究。