生活数学化——高中生需要,但不要停留

高中生需要生活数学化

数学生活化，强调从学生已有的生活经验和生活背景出发，将抽象的数学概念具体生活化，侧重于直觉感知，适应于低年龄学生． 例如，当学生对充分和必要条件的理解感到困惑时，举出“天上下雨地下湿”这个道理自然就“顿悟”了，也就是说若“天上下雨”条件成立，则“地下湿”结论一定成立，这就是充分条件，反之，若结论“地下湿”成立，则条件“天上下雨”不一定成立，这就是不必要条件．

生活数学化，强调学生用数学的眼光看待生活问题，即生活问题抽象化、数学化，侧重于数学应用，突出数学建模．高中教学不忽视数学生活化，但是更强调生活数学化，这是由高中生的认知结构决定的，也是增强学生数学应用意识需要的． 《普通高中数学课程标准》指出，“我国大学、中学数学建模的实践表明，开展数学应用的教学活动符合社会需要，有利于激发学生学习数学的兴趣，有利于增强学生的应用意识，有利于扩展学生的视野．” 高考也明确将数学应用意识作为一种能力考查． 所以，高中生需要生活数学化，感受数学的应用价值，增强数学的应用意识． 下面，笔者以诺贝尔经济学奖获得者纳什因提出的“囚徒困境”趣味数学问题为例，谈高中阶段实施生活数学化教学的积极意义．

有甲、乙两名同案犯，被警方抓获并隔离审讯． 如果两人拒不交代，将因证据不足而被无罪释放；如果一方招供一方不招，招供的一方将因有立功表现而只被判3年刑期，不招供的一方则将被判10年刑期；如果双方都招供将各被判5年刑期． 请问他们将作何种选择？

两名同案犯在无法串供时，他们都会选择有利于自己的行为．在不知对方选择态度的前提下，某一方只能认为对方招供与否是等可能的，于是我们可以利用数学期望对其中的利弊加以分析．

若甲选择不招供，他的刑期数学期望为Eξ1=×0+×10=5（年）；

若甲选择招供，他的刑期数学期望为Eξ1=×3+×5=4（年）．

显然Eξ1>Eξ2，于是甲选择招供．同理，乙自然也选择招供，于是各被判5年刑期！

诚然，我们固然不能奢望两名同案犯能有高深的数学理解，他们或许只是惧于法律的威严而招供，也或许只是心存侥幸不招供． 但是，数学教学强调学生透过现象看本质，用数学的眼光看待生活问题，用数学服务社会，用数学认识世界． 通过对“囚徒困境”生活问题数学化分析，学生不仅深刻理解了数学期望，而且增强了数学应用意识． 积极开展生活数学化教学活动符合社会需要，有利于激发学生学习数学的兴趣，有利于增强学生的应用意识，有利于扩展学生的数学视野，有利于培养学生的数学思维品质，有利于帮助学生适应高考的要求．

不难发现，如果一方招供一方不招，不招供的一方由“判10年刑期”改为“判6年刑期”，则两名同案犯的选择将会发生戏剧性的变化，他们将逃离法律的制裁． 于是，教学中可以提出问题：如果一方招供一方不招，不招供的一方判多少年刑期才合理呢？甚至进一步追问：类似“囚徒困境”问题俯拾皆是，能否举例说明？当我们及时将这些数学思考呈现在学生面前时，自然就会泛起学生心中思索的涟漪，我们的教学也就成功了． 所以，笔者认为高中生需要生活数学化，但不要停留．

生活数学化——探究不要停留

只关注学生的生活经验而不深入研究学生的数学思维和抽象概括能力是对生活数学化的一种误解． 数学认识的规律是从具体到抽象再到更高一级的具体的螺旋上升的过程，如果学生没有深入的数学化探究，停留在简单的数学应用，缺少更高一级的抽象化、数学化的提炼，忽视了数学学科本身所具有的抽象性和严谨性，是不利于学生的智力成长的． 因此，高中阶段实施生活数学化教学，要强调学生在更高层次上数学式地理解生活问题，不断地进行数学化探究，突出数学建模．

图1

笔者以实例《探究线性二阶递推式的通项公式》来解释这一过程． 要指出的是，本文不阐述数学建模的每个环节，侧重强调多解多思，突出层层递进的数学化探索．

走楼梯是人人熟知的生活事实，设计者充分考虑人们的行走习惯，每一步适合跨一级或两级台阶． 现有10级楼梯，若规定每一步只能跨上一级或两级，则走完这10级楼梯共有多少种不同的走法？

教师：请同学们尝试走楼梯，自由组合开展讨论．

选择两组有代表性的解答，通过投影向全班展示．

A组同学：建立组合数学模型，走完这10级楼梯共有六类走法：

第一类：跨一级有10步，跨二级有0步，共1种走法；

第二类：跨一级有8步，跨二级有1步，共C种走法；

第三类：跨一级有6步，跨二级有2步，共C种走法；

第四类：跨一级有4步，跨二级有3步，共C种走法；

第五类：跨一级有2步，跨二级有4步，共C种走法；

第六类：跨一级有0步，跨二级有5步，共1种走法；

所以，根据分类加法计数原理，共有1+C+C+C+C+1=89种走法．

B组：建立数列数学模型，用数列｛an｝表示走完第n级楼梯不同走法的种数，如a1=1表示走完第1级楼梯有1种走法．

第一步：通过走楼梯数数，可以得到a1=1，a2=2，a3=3，a4=5，a5=8；

第二步：探究数列｛ａn｝的递推关系． 通过分析a1，a2，a3，a4，a5，得到启发：到达第n级楼梯可分两类，第一类是从第n-2级楼梯跨二级到达，第二类是从第n-1级楼梯跨一级到达，故数列｛ａn｝的递推关系为an=an-11+an-2，n≥3a1=1，a2=2. ；

第三步：由递推公式顺推得a6=13，a7=21，a8=34，a9=55，a10=89．

教师：数学建模架起了数学与实际生活的桥梁． “横看成岭侧成峰，远近高低各不同”． 由于我们对实际生活有不同的数学理解，数学建模自然也就百花齐放，但其结果必殊途同归． 诗人刘禹锡笔下曾有言“千淘万漉虽辛苦，吹尽狂沙始到金．” 两种数学模型，谁优谁劣？此言尚早． 现把问题一般化：现有n（n≥3）级楼梯，若规定每一步只能跨上一级或两级，则走完这n级楼梯共有多少种不同的走法?

部分学生探究如下：

（1）若n是正偶数，则有C+C+C+C+…+C+C种走法；

（2）若n是正奇数，则有C+C+C+C+…+C种走法．

怎样化简呢？思维之翼戛然而止，化简之路扑朔迷离．

教师：我们不妨携手聚焦数列数学模型进行探究．

部分学生：因为当n≥3时，二阶线性递归公式an=an-1+an-2的特征方程是x2=x+1，所以x=，故设an=An+Bn，其中A，B是待定的系数．

因为a1=1，a2=2，

即A+B=1，2A+2B=2， A=，B=，

所以an=n+1－•n+1．

教师：很好，这就是我们常说的特征根法． 形如“an=pan-1+qan-2”二阶线性递推式，其特征方程是x2=px+q．

（1）若特征方程有相异两根x1，x2，则an=Ax+Bx（其中A，B是待定系数）；

（2）若特征方程有两重根x1，x2，则an=（A+Bn）x（其中A，B是待定的系数）．

教师：我们知道，形如“an=pan-1+f（n）”递推式往往通过构造等比数列求通项公式． 可以类比，形如“an=pan-1+qan-2”二阶线性递推式，可以通过构造等比数列“降阶”，转化为形如“an=pan-1+f（n）”的递推式．

因为当n≥3时，an=an-1+an-2，设an+xan-1=（1+x）（an-1+xan-2），

所以x2+x－1=0，即x=，

所以an－an-1=（an-1－an-2）（n≥3）?摇 ①

或an－an-1=（an-1－an-2）（n≥3） ②

所以由①得an－an-1=n-2a2-a1，

即an－an-1=•n-2（n≥3）?摇?摇?摇?摇③

同理，由②得an－an-1=n-2（n≥3） ④

由③④可得，当n≥3时，an=•n+1－n+1．

教师：不经一番寒彻骨，怎得梅花扑鼻香． 经过艰难跋涉，终于到达终点，成功的感觉让人回味无尽． 通过对比，不难发现，建立数列数学模型的方法很好，值得借鉴．

学生总结：……

教师：数学源于生活，高于生活，应用于生活． 没有诸如此类的数学提炼与数学思考，“走楼梯”根本不是数学，也与数学无关． “山水含情花带笑，万物细察蕴情思”． 很多寻常的事物在诗人眼中都别有情趣，诗意盎然． 同样，在数学中，很多看似简单的问题，只要我们做一个敏锐的观察者，就会发现散落于其中的晶莹的数学珍珠． 生活中还有许多这样的例子，例如掷硬币跳棋的游戏：棋盘上有第0，1，2，…，100方格站，一枚棋子开始在第0方格站，由棋手每掷一次硬币，若硬币出现正面，则棋子向前跳动一站，出现反面则向前跳动二站，若棋子跳到第99站，则获胜；若棋子跳到第100站，则失败． 我们可以探究该游戏是否公平？

历练深入的数学化探究，有利于高中生对客观事物由感性认识上升为理性认识，从而形成主体认识；有利于高中生在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展；有利于高中生发展技能、技巧、有益的思考方式和科学的思维习惯，最终形成一种积极、主动、探究的高效学习．

生活数学化——思考不要停留

数学化思考，是指在具体的情景中抽象出事物的本质，概括出事物的共同特征和规律，即抽象概念、建立数学模型． 高中生生活数学化，强调数学化探究不要停留，数学化思考也亦如此．数学化思考，一方面可以让学生去感悟数学河流的源头和波涛，从而能够灵活应用数学知识解决不断变化的实际生活，另一方面可以培养学生思维的灵活性、敏捷性、广阔性和深刻性． 毋庸置疑，数学化思考是培养数学化思维的必由之路，也是数学教育的精神所在．

有学生建立计数数学模型来思考“走楼梯”问题，设走完这10级楼梯中，有x步跨二级，有y步跨一级，则2x+y=10，即y=－2x+10（x∈N，y∈N）． 如图2所示，问题转化为从原点出发，沿着小正方形的边线，遵循向右或向上走的原则，分别到达点A～F的走法种数有多少．

也有学生建立函数数学模型来思考“走楼梯”问题，设走完x级楼梯不同的走法种数为y=f（x），通过实践，可得如下表格．

表1

根据表中的数据作出散点图，并建立函数模型y=a•bx+c． 虽然这条路再走下去前途迷茫，但这是学生数学化思考的成果． 这些散发着智慧光芒的数学化思考是学生宝贵的财富，是智力的生长点，教师要珍惜和爱护它．

数学化是弗兰登塔尔数学教育思想的核心． 数学化探究，可以理解为纵向数学化，“在符号世界里，符号的天生、重塑和被使用”． 数学化思考，可以理解为横向数学化，“把生活世界引向符号世界”． 高中生生活数学化，倡导数学化探究与数学化思考结伴而行，均衡发展． 让学生学会数学化思考和探究，就是让学生自己构建数学知识，体验思维过程，教师的任务就是提供有意义的实际生活，在师生互动中开拓“思维场”，这或许正是高中数学教育内涵的拓展和优化高中教学新的生长点吧！