数值计算方法的融会式教学理念与实践
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[摘要]针对数值计算在理工科课程体系中的桥梁性作用，提出了能够贯通前缘后续课程、奠定专业基础、突出专业特色、激发学习兴趣的融会式教学理念，并结合自动化专业本科生《数值计算方法》课程教学任务开展融会式理念的教学实践。实践表明融会式教学理念具有全方位、全过程、理论联系实践、因材施教等优点，能充分激发学生的学习兴趣，提高学生学以致用和自主创新的综合能力。
[关键词]数值计算方法；融会式；教学理念；教学实践
[中图分类号]G642.0 [文献标识码]A [文章编号]1005－4634(2012)02－0053－04
0 引言
随着计算机技术的飞速发展，数学学科的地位发生了巨大的变化，特别是在自然科学的许多分支中，有相当多的研究问题走向定量化和数值化，从而出现了一系列与计算有关系的研究方向，如计算物理、计算力学、计算化学、计算地质学、计算生物学、计算气象学等。目前，科学计算、理论研究、科学实验已经成为当今科学研究的三大方法，而科学计算由于具有研究成本低、周期短、风险少等特点，因而受到广泛的重视。数值计算方法，也称“数值分析”或“计算方法”，是科学计算的重要基础，也是理工科大学生和研究生的核心课程，国内外综合性大学无一例外均开设了本门课程。数值计算方法以采用计算机技术求解工程实践中提炼出的数学问题为主线，既有数学课程理论上的抽象性和严谨性，又有解决实际问题的实用性和实践性。自从教育部分别颁布高等教育“面向21世纪教学内容和课程体系改革计划”后，很多教学工作者积极探索数值计算方法教学的新模式，并投入到教学实践之中。在教学观念、教学内容、教学方法、教学手段等方面出现了百家争鸣的好局面，开展了多层面多方位的教学改革探索，展现了数值计算方法课程教学在理工科人才培养中的奠基性作用。
鉴于数值计算方法在理工科人才培养课程体系中的重要地位，通过问卷调查及统计分析，分别从教师和学生两个角度剖析课程教学所面临的主要问题，有针对性地提出数值计算的融会式教学理念，从课程体系、教学模式、教学内容、教师队伍等多个方面阐述该理念的内涵，并结合国防科技大学自动化专业本科生《数值计算方法》课程教学任务开展教学实践，检验融会式教学理念的实际效果，为21世纪数值计算方法教学改革提供新的思路和有益借鉴。
1 课程教学的问题分析
数值计算方法在理工科大学生及研究生培养的课程体系中具有显著的桥梁性作用，一方面是对高等数学、线性代数、编程语言(或算法设计)等公共前缘课程的巩固与扩展，另一方面也是力学、计算机科学、自动化、航空航天、土木工程、机械工程、经济管理等专业后续课程的基础和工具。通过问卷调查统计分析，目前数值计算方法课程教学所面临的主要困难可从教师和学生两个方面加以总结。根据数值计算方法授课教师的反映，教学面临的困难主要有以下几个方面。
1)课程信息量大与教学时数少之间的矛盾。课程主要研究数值逼近与曲线拟合、线性方程组求解、非线性方程求根、数值积分与数值微分、常微分方程求解等问题的数值解法，教学内容多，而培养方案又在压缩教学课时，所以出现学时少、内容多的矛盾。
2)课程覆盖面广与教师专业知识受限之间的矛盾。课程涉及的数值方法都有着典型的工程应用背景，涉及的学科领域宽泛，从事教学的教师往往精通于有限的领域，如何充实提高自身素养适应课程教学的要求是任课教师必须面对的问题。
3)实践环节与相应保障之间的矛盾。数值计算方法课程是理论与实践结合的产物，实践性是此课程有别于其它数学课程的一个基本特征。课程教学的实践环节花费时间较多，可能与教学大纲要求的在一定时间需完成的教学任务有冲突。教师在研究情境设置的问题“难易度”的把握尺度上与学生的接受能力也有可能冲突。有些太困难的研究问题难免超出教学大纲的要求，给学生造成额外负担。
根据学生反映的情况，课程学习面临困难主要有：(1)学习兴趣淹没在冗长的公式推导和理论分析之中。课程涉及相当多的理论推导，对于己经复杂冗长的公式，还要进行理论分析，包括算法的收敛性、数值稳定性、误差分析以及好的时间复杂性和好的空间复杂性。这些方法几乎都很复杂，公式冗长，推导繁琐。过多地强调数学理论证明，大多数的学生觉得这门课很难，学得很枯燥，也感觉不到乐趣。(2)课程内容及进度与学生个体差异的矛盾。伴随着高校招生规模的扩大，学生的人数越来越多，生源的个体差异也越来越显著，同样的内容设置和进度安排往往使得人数众多、差异显著的学生群体难以适应，学习效果自然受到严重影响。(3)课程内容难以体现贯通培养课程体系的桥梁性作用。无论是教材还是实际授课，绪论往往将数值计算方法定位为理工科大学生和研究生培养的核心基础课程，但是主体内容讲授时由于课时有限，只能突出理论推导和算法设计，学生只能见到树木，却始终未能见到好奇的森林，严重的话会削弱学生的学习兴趣和热情。(4)实践环节与基础能力的矛盾。数值计算中的问题仅靠课堂教学、理论推导是很难讲明白的，特别是各种算法的收敛性、稳定性等问题。实践环节是学生加深算法理解、学以致用的重要途径。但是，课程实践环节不可避免地涉及到程序编写与调试，很多学生在编程语言或算法设计课程中基本功不够扎实，从而对数值计算方法的实践环节产生畏惧心理，导致课程实践效果不佳。
2 融会式教学理念
针对数值计算方法课程教学的上述问题，教学工作者们主动思考、积极探索，不断实践新的教学理念或教学模式。在现有研究基础之上，本文提出数值计算方法的融会式教学理念，重点探讨如何培养学生的数值思维能力和计算求解能力，使他们通过课程的学习，构建起所学专业课程体系的全貌，领悟课程的基础性、开放性的重要特征，融会贯通数值计算的思想理解、算法设计和工程实践，在碰到新问题时，不是生搬硬套书本公式，而是灵活运用掌握的数值思维方法去分析和求解。
融会式教学理念关键落实在“融会”二字上，它突破传统的课程讲授、课后作业、上机实践、考核结课的授课过程，将其扩充为前缘深入先摸底、备课充实贴前沿、授课生动重启发、习题思考多互动、实践灵活循算法，授课讲座齐并举、考核全面现能力、试后逐一面点评的融会贯通的全过程。
1)前缘深入先摸底。开课之前深入选课学生群体之中进行交流沟通，了解大家对高等数学、线性代数、编程语言(或算法设计)等公共前缘课程的掌握隋况，获取并分析选课学生在前缘课程的成绩分布情况，特别留意个体的差异程度。比如，对于具有畏惧心理的学生，要及时发现，因材施教，可通过课堂简单提问或者通过批改作业留下鼓励性质的评语，帮助其树立自信心。
2)备课充实贴前沿。综合考虑学生对前缘课程的掌握情况和培养计划对课时的规定，合理选择备课内容，不求面面俱到、照本宣科，但求重点突
出、贴近前沿。每个章节精心设计问题导入环节，举例须紧扣技术发展的前沿，避免书本上例子通行天下的现象，充分激发学生的学习热情。比如，插值方法可结合风洞试验数据估算神舟飞船阻力系数的例子。
3)授课生动重启发。授课过程中，可充分利用课程的实用性和实践性，从工程实践中凝炼科学问题，有针对性地启发学生主动思考相应的对策，再跟大师们的计算方法进行比较，分析优劣，进而转入算法的思想、流程和设计，剖析所学计算方法解决工程问题的实际效果及适用范围。另外，还要注重多媒体和板书的有效结合。
4)习题思考多互动。合理安排习题课，精心准备由易而难的例题，既注意问题的工程实践性，也引导学生积极思考，结合前缘课程的了解情况，有针对性地让学生参与分析和计算，采用分组讨论的形式，充分尊重个体差异，尽量让每位学生都有所获益，有所提高。融会式教学在考试之前的复习课中，一方面梳理本门课程内容之间的相互联系，比如插值是数值微积分的基础，样条插值是线形方程组求解之追赶法的典型应用等等。另一方面更要回顾课程与前缘课程的具体关系，比如多项式插值充分利用了线形代数中多项式空间基函数的概念，数值逼近多次引用范数的定义，而且要根据选课学生的专业分布，选取有典型意义的后续课程，比如自动化专业的控制系统原理、信息科学专业的信号与系统等等，讲解课程所学方法将在专业后续课程中发挥重要的作用，同时也是大家学习这些后续课程的重要基础。
5)实践灵活循算法。课程教学的实践环节非常重要，由于学时有限，必须充分利用。建议可分3次上机实践。第一次可以考查编程能力，及时发现情况，及时总结原因，可组织一次集体答疑，为大家编制统一的接口函数，将数据结构定义、数据读入、结果显示等公共环节提取出来统一处理，而引导学生把精力投入到算法思想的理解和算法流程的实现。第二次，直接提供基本程序框架，由学生填充算法流程的主体部分。第三次，则可当作现场模拟上机考试，要求学生在规定时间内提交算法程序和结果。实践环节的合理运用对改善课程教学效果具有极其重要的作用，教师可适当补充编程的基本技能和基本方法，编制易于理解易于运用的程序框架，以便于学生将有限精力投入到算法设计本身，而不是过多地消耗在输入输出等公共环节。特别是，需要关注对编程具有畏惧心理的学生，采取合适而又有效的措施，比如分组合作或者亲手示范等手段，消除畏惧，激发兴趣，以全面提高课程教学质量。
6)授课讲座齐并举。考虑课程覆盖面广与教师专业知识受限之间的矛盾，并不能要求教师同时掌握多门专业知识，而是可以采用授课和讲座相辅相成的方式，邀请其他专业的老师，根据他们从事科学研究过程中运用数值计算方法解决领域问题的具体体会，向学生讲解数值计算方法的实际应用流程和作用。比如，生物信息学中大量应用最小二成、稀疏矩阵求逆等数值方法。讲座往往较为轻松，占用课时少，学生易于接受，既可提高学习兴趣，也可拓宽知识面，对课程的基础性作用不言而喻，从而有效避免了授课教师“王婆卖瓜，自卖自夸”的尴尬。
7)考核全面现能力。课程考核要全面覆盖授课内容，合理制定试题难度，注重综合能力的考查。课程考核重在数值计算方法基本思想的领悟和掌握程度，不苛求公式的背诵记忆，建议设置一定比例的推导题，比如给出数值积分的梯形公式，要求学生推导Simpson公式。
8)试后逐一面点评。不同于以往考试结课的惯例，融会式教学强调全过程的交流沟通，学生一般在考试之前集中复习，考试之后遗忘性衰减现象很普遍。为了巩固教学效果，融会式教学注重考试之后，教师及时批改试卷，总结课程教学效果，与每一位学生进行当面点评，分析丢分的具体原因，加深学生对所学方法的理解和应用。
综合起来，数值计算方法的融会式教学理念重在将授课过程、教学内容、教学方法、教学手段、教师构成、课程考核、试后讲评等多个环节融会贯通。在教学内容上，突出本门课程与前缘、后续课程的内在联系、相互关系及本质特色，让学生既见树木，也见森林；在教学方法上，强调理论与实践并重，紧扣专业特色，无论是课堂举例，还是上机实践，都结合授课对象的专业分布，从实际工程应用提炼科学问题，将算法思想付诸问题求解，激发学生的学习积极性，加深数值方法的理解；在教学手段上，注重现代多媒体技术与板书的合理搭配，多媒体形象生动，结合插值、拟合、方程组迭代求解等数值方法的几何意义、物理意义进行讲解，节省时间提高课堂效率。板书节奏感强，容易引导学生积极思考，也便于开展师生互动，加深学生对算法思想的理解，提高学以致用的实践能力；在授课过程上，更是体现“融会”的特征，从前缘课程摸底、个体差异关注，到跨专业邀请讲座，再到试后当面点评，直至后续课程的展望，都充分注重融会贯通的教学环节，最大程度上提高教学效果。
3 融会式教学实践
与数值计算方法课程的实践性相统一，融会式教学理念同样需要教学实践的不断检验。笔者结合国防科技大学自动化专业本科生《数值计算方法》课程教学任务，遵循融会式教学理念，积极开展包括前缘深入先摸底、备课充实贴前沿、授课生动重启发、习题思考多互动、实践灵活循算法，授课讲座齐并举、考核全面现能力、试后逐一面点评等所有环节的教学实践，检验融会式教学理念的效果。
笔者独立主讲了国防科技大学自动化专业本科生在大三秋季学期设置的32学时《数值计算方法》课程。结合课程的特点，全程采用融会式教学理念，采用“掌握思想、设计算法、上机实践”等多种手段进行全方位教学。根据授课对象前缘课程的掌握情况，选取插值、拟合、数值微积分、线性方程组求解直接法、线性方程组求解迭代法、非线性方程求根、常微分方程数值解等作为主讲内容，课堂26个学时重点开展算法思想的讲授和研讨，实践6个学时则重点考查学员设计算法、解决问题的综合能力。
在学期开课之前深入授课对象所在的学员队，与学员交流本科阶段学习的体会与经验，了解大家对本课程前缘课程(高等数学、线性代数、C语言等)的掌握程度，对微积分、方程组求解、矩阵特征值等相关内容进行复习巩固，同时留意个体差异，及时发现自称“逢数学课必挂”的具有畏惧心理的学生。
备课时，紧密结合科技发展前沿，比如从神舟飞天中根据风洞数据估算阻力系数的实例引入插值方法，同样由加速度计离散测量数据估算飞行速度的问题引出数值积分的问题；在课堂教学中，强调学员主动发现问题、积极参与课堂讨论，在适当的引导中鼓励学员自己得出结论，既提高学习兴趣，也增强自信心。鉴于课程学时受限，全程作业逐本批改，在指定课时之外，采用集体答疑和第二课堂的自由形式，补充8个课时进行课外习题辅导，学生可以根据自身的学习情况自行决定是否参加，加深大家对数值算法的理解和求解过程的联
系。考虑到教师自身专业知识有限，邀请生物信息学、基础物理学的两位跨专业教员分别开展公开讲座，结合具体问题示范如何运用数值计算方法进行解决，加深印象，也激发热情。
三次上机实践按照知识点进行组织，一类算法的授课结束后立即进行编程实践。第一次实践内容为插值和拟合，程序编制相对较为简单，同时也考查学生编程能力的个体差异，及时分析情况，集中组织一次课外答疑，不是简单地准备好例程演示给大家而已，而是与学员一起现场编制程序，依据融会式教学理念，让大家看到如何结合具体求解问题从无到有地编制程序的全过程，加深大家对算法从流程到代码的演化过程，减轻大家对编程实践的畏惧心理，提高动手实践能力。第二次为数值积分的Romberg算法，为大家编制统一的接口函数，将数据结构定义、数据读入、结果显示等公共环节提取出来统一处理，引导学生把精力投入到算法思想的理解和算法流程的实现。第三次为微分方程数值解Runge-Kutta算法，采用限时提交的方式，要求大家按照考核的标准完成二阶、三阶、四阶算法的编程和精度比较。课程实践环节逐次提高要求，让学生在掌握数值计算方法相关算法的同时，也进一步提高编程能力，增强自信心，为后续课程学习奠定基础。
课程考核既测验学员对基本概念、基本原理的掌握程度，也测验学员对课程整体的把握能力以及学以致用的实践能力。考试之后，及时阅卷，并再次深入学员群体之中，进行逐一当面点评，分为未能掌握、粗心大意、时间不够等类型剖析丢分的原因，既是及时巩固课程学习成果，也是锻炼学生素质、提高学习成绩的重要途径。
与传统模式相比，融会式教学理念注重从实际工程应用提炼科学问题，充分激发学生的学习兴趣；强调课程的承上启下的地位，让学生既见树木，也见森林，知晓专业培养的目标与定位；注重数值计算方法的启发和实践并重，通过具体问题的编程实验，既加深理解，也敢于实践。在授课、答疑、批改作业、实验、考试等诸多环节，学生们都充分认可融会式教学理念。综合这次融会式教学实践的实际成效来看，学员们较好地掌握了插值、拟合、数值微积分、线性方程组求解、常微分方程数值解等数值计算方法的思想精髓，并能够活学活用，解决实际问题。特别是，三次上机实践，学员热情逐次提高，主动寻找课外时间开展编程实践，多次改进程序，修订实验报告，达到了非常好的算法实践效果。
在本次融会式教学实践中，学生都能够带着兴趣与热情投入到课程的学习中去，课堂积极思考、踊跃发言，敢于发表自己的见解；课后主动复习、认真完成作业，特别是布置的几次讨论性质的题目(如谈谈对课程的印象、谈谈对迭代法的理解等)锻炼了学员的独立思考能力和语言表达能力；上机实践中能够针对底子薄、能力差、锻炼少的现状，积极主动地进行反复练习，并相互请教，力争得到最大程度的提升。其中，极个别学员存在基础薄弱、前缘课程差、出现多门挂科等问题，自信心不强，甚至出现自暴自弃的现象，经过多次引导与鼓励，也能够积极融入集体，认真对待每次作业和实验，得到了较好的平时成绩，考试也能够积极面对，最终也取得了令自己满意的成绩。
总体而言，《数值计算方法》课程采用融会式教学理念，取得了良好的教学效果，既提高了学生对数值计算方法思想精髓的理解水平和应用能力，也培养了学生的主动学习、独立思考等综合素质，为后续的学习深造打下基础。
4 结束语
随着计算机软硬件技术的不断发展，科学计算与理论研究、科学实验一起构成了当今科学研究的三大方法。数值计算方法是科学计算的重要基础，也是理工科大学生和研究生必须掌握的核心课程。本文分析了目前数值计算方法课程教学所面临的主要问题，有针对性地提出了融会式教学理念，从前缘深入先摸底、备课充实贴前沿、授课生动重启发、习题思考多互动、实践灵活循算法，授课讲座齐并举、考核全面现能力、试后逐一面点评8个环节剖析了这一教学理念的内涵，结合具体的教学任务积极开展教学实践。与传统模式相比，融会式教学理念注重从实际工程应用提炼科学问题，更加贴合数值计算方法的课程性质，充分激发学生的学习兴趣，提高了学生对数值计算方法思想精髓的理解水平和应用能力，也培养了学生的主动学习、独立思考等综合素质。
融会式教学无疑给教师提出了新的挑战，他们需要投入更多的精力，不再是孤立地在一门课程上下苦功，更要融会贯通地开展全程化教学。如何追踪科技前沿，如何考虑个体差异，如何激发学习兴趣，如何找到理论与实践之间的折衷等等，都是融会式教学必须认真思考并合理解决的问题。当然，融会式教学理念是数值计算方法课程教学改革的一种新尝试、新探索，还有待在今后的教学实践中不断补充、完善和检验。
