树状电路信号完整性符号化分析方法与应用

摘 要:RLC树状电路的信号传输特性可以利用电路的高阶矩描述。电路的矩可以通过数值递归算法和符号化方法求得,其中基于矩决策图的符号化求解算法利用了决策图的共享特性,将大规模电路的矩进行符号化表示。通过引入树状电路之间的耦合电容和互感,利用电源分割理论,将树状电路矩的符号化算法进行推广,并构造一个耦合RLC树状电路的符号化仿真器,对耦合互连线的信号完整性进行高效的分析和仿真。最终论证耦合RLC树状电路的串扰与电路参数之间的关系。

关键词:矩;信号完整性;二叉决策图;耦合电容;互感;符号化

中图分类号:TM13文献标识码:A

文章编号:1004-373X(2010)01-113-04

Symbolic Analytical Approach and Applicationfor Signal Integrity of

Inductance-Effect-Prominent Multi-coupled RLC Tree Circuits

LIU An

(School of Microelectronics,Shanghai Jiaotong University,Shanghai,200030,China)

Abstract:The signal characteristics of RLC tree-structured circuits can be described by high order voltage moments,which can be computed recursively using numerical or symbolic algorithms.The symbolic moment calculator is based on Moment Decision Diagram (MDD) which can represent the recursive moment computation process effectively by taking the advantage of data sharing in the decision diagram.Taking the coupling capacitance and inductance into consider,a symbolic simulator of inductance-effect-prominent multi-coupled RLC tree circuits by using source splitting technique is provided.An application of symbolic SI analysis for the coupled interconnects is also presented.The relationship between the parameters of RLC tree circuits and their signal integrity are demonstrated.

Keywords:moment;signal integrity;binary decision diagram;coupling capacitance;coupling inductance;symbolic

0 引 言

当工艺尺寸逐渐步入深亚微米后,寄生参数效应将变得更加明显[1]。由于工作频率的提高,不仅是导线的寄生电感,导线间的耦合电容,甚至互感也体现了出来,对芯片上的信号完整性提出了更加苛刻的要求。不考虑有源器件,仅从互连线的角度来看,传统的RC模型已经不能胜任了,取而代之的是RLC,RLCM等更加精确的模型。

随着芯片集成度的提高,布线的长度增长,需要用分布式互连线模型,甚至传输线模型才能描述。如果再考虑寄生参数,这样就对仿真的规模提出了更高的要求。因此,快速而准确地估计信号在互连线网上的传输特性是目前VLSI设计中一个十分重要的问题。目前主要的方法是通过计算线网中各点电压冲激响应的矩(Moment)来进行。RC线网设计中广泛应用的Elmore时延既是冲激响应的一阶矩[2]。然而,如果考虑导线的寄生电感,导线间的互容、互感,只有计算出高阶矩才可以对导线的传输时延、阻尼状态、振荡幅度,甚至导线间的串扰进行快速和合理的估计[3,4]。

Pillage等提出了计算RLC线网各阶矩的方法[5]。这个算法充分利用了树状传输线的特殊结构,运用正反向两次路径追踪(Path-tracing)算法和一系列电源置换的直流分析反复求解同样结构的一个电阻网络。基于这种路径追踪算法,又产生了一系列高效的矩的递归数值计算方法[6],然而这些方法在进行每次矩计算之前必须预先记录所有的追踪路径。

Shi提出了RLC树状电路各阶矩的符号化计算方法[7]。这个算法利用一个连接电容树(Capacitor Tree)中电阻的多根节点二叉决策图(Multi-root Binary Decision Diagram)来处理矩计算过程中的路径追踪,从而能够有效地计算电路各节点的高阶矩。同时,由于有了矩决策图(Moment Decision Diagram,MDD)对高阶矩的符号化表示,能够更有效地对树状电路的信号完整性进行统计分析。

本文在单棵RLC树状电路矩的符号化计算方法基础上,引入了导线间的耦合电容和互感,建立了多耦合RLC树状电路矩的符号化计算方法,并结合模型降阶算法,对多耦合树状电路的信号完整性进行了分析。

1 多耦合RLC树状电路矩的数值计算方法

RLC线网是片上互连线的典型模型,它的状态方程可表示为:

Edx(t)dt+Ax(t)=Fu(t)

(1)

式中:状态向量x是由电路的节点电压和支路电流构成的。如果电路是树状结构,那么系统方程E,A和F具有特殊的结构,可以简化电路矩的计算。

Ratzlaff和Pillage提出RICE(Rapid Interconnect Circuit Evaluation)算法[5]的巧妙之处在于它没有直接通过矩阵运算去得到矩,而是利用电路自身的拓扑结构——RLC树状电路可以看成由电阻R组成的支撑树(Spanning-tree)和由电容C组成的连枝(Branch)构成,通过反复迭代的直流分析,最后计算出树状电路节点的各阶矩。

由于电容耦合和互感效应对信号的时延和串扰有着重要的影响,在建模RLC树状电路网络时必须要考虑非地点(No-ground Node)之间的浮动电容(Floating Capacitor)和对应电感之间的互感。 Qingjian Yu和Ernest S.Kuh提出了计算耦合RC树状电路矩的数值递归算法[6,8,9]。这个算法同样适用于多耦合RLC树状电路。

RLC的树状电路网络模型如图1所示。

图1 耦合(互感、互容)RLC树状电路网络模型

首先按文献[6]的规则定义符号如下:

Ti为第i棵RLC树,Root(i)为Ti的根节点;

nij为第i棵RLC树的第j个节点;

Cij0为连接nij节点和地的电容;

Ci1i2j1j2表示节点ni1j1与节点ni2j2之间的耦合电容;

CCij为连接nij的所有耦合电容;

Rij和Lij为电容Cij0所对应的支路电阻和支路电感;

Pij为Root(i)到nij点的电阻路径;

Rijk,Lijk为路径Pkj∩Pij上的所有电阻和电感;

Ki1i2j1j2和Mi1i2j1j2为Li1j1和Li2j2之间的互感系数和互感,其中:Mii1jj1=Kii1jj1LijLi1j1;

MLij为与电感Lij耦合的所有互感;

mCij(k)和mLij(k)为Cij和Lij的对应的k阶矩。

已知在k(k≥1)次迭代过程中,电容Cij等效为电流源ICij(k)=Cij•mCij(k-1),耦合电容Ci1i2j1j2等效为电流源:

I(k)=Ci1i2j1j2[mCi1j1(k-1)-mCi2j2(k-1)]

(2)

其中,电流的方向为ni1j1点流向ni2j2。根据电源分配理论,可以将由耦合电容Ci1i2j1j2产生浮动电流源(Floating Current Source)分成两个对地电流源,分别是从ni1j1点流向地的I(k)和从ni2j2点流向地的-I(k)(如图2所示)。浮动电流源的分割等同于将原来相互耦合的RLC树状电路去耦合。

图2 耦合电容的矩模型

同样,电感Lij等效为电压源VLij(k)=Lij•mLij(k-1),互感Mi1i2j1j2等效为两个电压源,分别是与Li1j1串联的Mi1i2j1j2mLi2j2(k-1)和与Li2j2串联的Mi1i2j1j2mLi1jj1(k-1)。由互感Mii1jj1产生浮动电压源(Floating Voltage Source)的分割也等同于将原来相互耦合的RLC树状电路去耦合(如图3所示)。

图3 耦合电感的矩模型

基于这个理论可以得到,一组多耦合RLC树状电路电容Cij和电感Lij的k(k≥1)阶矩公式:

mCij(k)=∑nip∈NiRipjmLip(k)-∑nip∈Ni[Lip•mLip(k-1)+

∑Mii1pp1∈MipMii1pp1mLi1p1(k-1)]

(3)

mLij(k)=∑nip∈Ni{CipmCip(k-1)+∑Cii1pp1∈CCijCii1pp1[mCip(k-1)-

mCi1p1(k-1)]}

(4)

2 多耦合RLC树状电路矩的符号化计算方法

虽然有了多耦合RLC树状电路网络矩的计算公式,但数值递归算法的复杂性在于在矩计算时必须识别所有相关的路径和路径上的电路元件。对于大规模电路而言,必须要有特定的机制记录相关的追踪路径。Ratzlaff和Pillage提出的虚拟路径追踪(virtual path-tracing)算法[5]在计算一阶矩的同时,用伪指令(pseudo-instructions)存储树枝的位置和阶数。然而,这种方法需要复杂的编程实现,不易于符号化(symbolic)。

Shi提出了基于矩决策图的单棵RLC树状电路矩的符号化计算方法[7]。它利用二叉决策图共享子图的特点,高效地将电路结构存储为图的数据结构,实现了矩计算的符号化。由于多耦合RLC树可以在矩计算过程中实现去耦合,这个算法在经过一定扩展之后仍然适用。

矩决策图的构造算法:

第一步:建立一棵与电路结构相同的电容树(C-Tree)。每一个对地电容Cij0建立指向所有耦合电容CCij的指针。

第二步:建立一棵由电阻构成的多根节点的二叉决策图。这个二叉决策图与电容树的拓扑结构完全相同。如果在电容树中,电容Cij是Cip的直接子节点,那么BDD中电阻节点Rij的“Then”边指向电容树的Cij点,“Else”边指向BDD的Rip点。如果Lij和Lmq耦合,则电阻节点Rij有指针指向电阻节点Rmq。每一个电阻节点Rij都是BDD的根节点。只有R1j点的“Else”边指向“0”节点(如图4所示)。

以上两步在实际操作过程中可以同时完成,由于电阻构成的决策图具有和电路结构相同的树形结构,所以可以一次构造完成,且不需要查找表机制。

k阶矩的计算方法:

第一步:(电容树求值)后序遍历电容树一次,先将电容节点Cij的值用等效电流源代替,即:

capij=CijmCij(k-1)+∑Cii1pp1∈CCipCii1pp1[mCip(k-1)-

mCi1p1(k-1)]

(5)

令每一个电容节点Cij存储它的所有后续电容节点以及它本身的电容之和,这个值也就是电容Cij对应电感Lij的矩mLij(k)。

图4 多耦合RLC树的矩决策图

第二步:(BDD求值)二叉决策图根节点Rij的值由以下递归公式求得:

val(Rij):=Rij*val(Rij→Then)+val(Rij→Else)

(6)

式中:val(Zero)=0;val(Rij→Then)=capij。

由电感等效的电压源可以用同样的MDD进行计算,只需要将BDD的电阻节点Rij换成对应的电感Lij即可。同时还要考虑由互感引起的浮动电压源,所以递归公式为:

val(Lij):=Lij*val(Lij→Then)+val(Lij→

Else)+∑Mii1pp1∈Mipval(Mii1pp1)

(7)

式中:

val(Mii1pp1):=Mii1pp1*val(Li1p1→Then)+

val(Li1p1→Else)。

3 多耦合RLC树状电路信号完整性分析

得到了电路n个扇出(fanout)点的0~q(q≤n)阶矩之后,便可以通过模型降阶技术对RLC树状电路网络进行快速精确的电路级模拟,从而研究互连电路的传输特性和信号完整性(时延、串扰)。

这里,需要两步来得到原电路系统(1)的降阶模型。首先,通过Gram-Schmidt正交化方法[10]将通过q-1(q≤n)次迭代得到的电路矩向量m(:,j)(j=0,1,…,q-1)正交化。设矩阵Vn×q的列向量是正交化的矩向量m(:,j),把矩阵Vn×q作为线性系统的投影矩阵,得到如下的降阶模型:

dξ(t)dt+ξ(t)=u(t)

(8)

式中:=VTEV,=VTAV,=VTF。很容易证明降阶模型(8)和原系统模型(1)至少最初q(q≤n)阶矩是相同的。

4 实验结果

用C++实现了基于MDD的符号化矩求解器,可以在普通的PC(1.83 GHz)上在几分钟之内计算含有100 000个RLC单元的树状电路各点的4阶或更高阶的矩(这里不考虑解析网表的时间),这里还实现了基于符号化矩求解器的多耦合RLC树状电路仿真器,程序结构如图5所示。

图5 符号化互连线仿真器结构

接着,分析三根平行耦合中RLC互连线(如图6所示)信号的完整性,其中一根的源端接入1 V跳变电压(入侵者aggressor),另两根源端接地(受害者victim)。观察互连线输出端传输特性,每一根互连线由100个RLC单元组成。它的单位长度参数分别是r=5.357 1 mΩ,l=0.613 8 nH,c=0.142 0 pF。电源内阻RS=50 Ω,负载电容CL=1 pF,互感系数为K=0.9。

图6 平行多耦合互连线模型

从图7可以看出,系统模型的阶数越高,仿真波形与HSpice越接近。

图7 平行耦合互连线的串扰

由于符号化矩求解器的MDD结构只与电路结构相关,与电路的参数无关,所以在分析电路信号完整性随电路参数的变化时可以比普通的Spice分析快很多。这里分析两根平行耦合RLC互连线之间的串扰,观察受害者输出端的串扰随互感系数的变化。每一根互连线由100个RLC单元组成。它的单位长度参数分别是r=5.357 1 mΩ,l=0.613 8 nH,c=0.142 0 pF。电源内阻RS=50 Ω,负载电容CL=1 pF,互感系数从-0.9变化到0.9,步长0.1,模型阶数为12。

从图8可以看出,串扰随着互感系数的增大而增强。

图8 平行耦合互连线串扰的仿真

5 结 语

介绍了一个基于矩决策图的符号化矩求解器,这个求解器利用树的数据结构表示在树状电路矩计算过程中的追踪路径,从而能够高效地实现树状RLC电路高阶矩的计算。本文将此算法推广到计算多耦合RLC树状电路的矩,并通过稳定的模型降阶,分析多耦合RLC树状电路的信号完整性问题。除此之外,还可以研究建立耦合互连线网络的统计模型,并利用耦合互连线网络的逻辑综合改善物理设计。

参考文献

[1]Rabaey J M,Chandrakasan A,Nikolic B.Digital Integrated Circuits - A Design Perspective[M].2nd Edition.Englewood Cliffs,NJ:Pearson Education,Inc.,2003.

[2]Elmore W C.The Transient Response of Damped Linear Networks with Particular Regard to Wideband Amplifiers[J].Journal of Applied Physics,1948,19:55-63.

[3]Brews J R.Overshoot-controlled RLC Interconnections[J].IEEE Trans.on Electron Devices,1991,38:76-87.

[4]Gupta R,Krauter B,Pileggi L T.Transmission Line Synthesis Via Constrained Multivariable Optimization[J].IEEE Trans.on Computer-Aided Design of Integrated Circuits and Systems,1997,16:6-19.

[5]Ratzlaff C L,Pillage L T.RICE:Rapid Interconnect Circuit Evaluation using AWE[J].IEEE Trans.on Computer-Aided Design of Integrated Circuits and Systems,1994,13:763-776.

[6]Yu Q,Kuh E S.Moment Computation of Lumped and Distributed Coupled RC Trees with Application to Delay and Crosstalk Estimation[J].Proceedings of the IEEE,2001,89:772-788.

[7]Shi G.Symbolic Moment Analysis for Rapid Timing(SMART) with Applications[A].Submitted to Int′l Symposium on Circuits and Systems[C].2009.

[8]Yu Q,Kuh E S.Exact Moment Matching Model of Transmission Lines and Application to Interconnect Delay Estimation[J].IEEE Trans.on Very Large Scale Integration(VLSI)Systems,1995,3:311-322.

[9]Yu Q,Kuh E S.Moment Models of General Transmission Lines with Application to Interconnect Analysis and Optimization[J].IEEE Trans.on Very Large Scale Integration(VLSI) Systems,1996,4:477-494.

[10]Golub G H,Loan C F.Matrix Computation[M].3rd Edition.Baltimore and London:The Johns Hopkins University Press,1996.