数学建模在中学教学中的认识

严士健先生指出：“教材应该结合日常生活及其他领域中的问题，举出更好的例子，更好的习题，以使学生体验数学与生活的联系，训练学生应用数学分析问题解决问题的能力.更重要的是要让学生具有应用数学的意识，真正认为数学有用，知道哪些生活、学习或生产问题可以用数学来解决.”数学家的见解将对数学应用教育产生现实而深远的影响.

一、 什么是数学建模

所谓数学建模，是指对于现实世界的某一特定研究对象，为了某个特定的目的，在做了一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，并通过数学语言表述出来的一个数学结构，数学中的各种基本概念，都以各自相应的现实原型作为背景而抽象出来的数学概念.各种数学公式、方程式、定理、理论体系等等，都是一些具体的数学模型.举个简单的例子，二次函数就是一个数学模型，很多数学问题甚至实际问题都可以转化为二次函数来解决.而通过对问题数学化，模型构建，求解检验使问题获得解决的方法称之为数学模型方法.我们的数学教学说到底实际上就是教给学生前人给我们构建的一个个数学模型和怎样构建模型的思想方法，以使学生能运用数学模型解决数学问题和实际问题.具体的讲数学建模方法的操作程序大致上为：

由此，我们可以看到，培养学生运用数学建模解决实际问题的能力，关键是把实际问题抽象为数学问题.必须首先通过观察分析、提炼出实际问题的数学模型，然后再把数学模型纳入某知识系统去处理，这不但要求学生有一定的抽象能力，而且要有相当的观察、分析、综合、类比能力.学生的这种能力的获得不是一朝一夕的事情，需要把数学建模意识贯穿在教学的始终，也就是要不断的引导学生用数学思维的观点去观察、分析和表示各种事物关系、空间关系和数学信息，从纷繁复杂的具体问题中抽象出我们熟悉的数学模型，进而达到用数学模型来解决实际问题，使数学建模意识成为学生思考问题的方法和习惯.

二、 强化数学建模教学的意义

中学数学教育是基础教育的提高阶段，应着眼于未来，为培养高素质的人才打好基础，根据数学建模的特点，不难看出，在中学数学教学中，渗透建模思想，开展建模活动，具有重要意义.

1 促进理论与实践相结合，培养学生应用数学的意识

现在的学生，从小学到初中再到高中，经过十来年的数学教育，他们懂得了不少数学知识，但是接触到实际常常表现得束手无策，灵活地、创造性地运用数学知识解决实际问题的能力较低.而数学建模的过程，正是实践——理论——实践的过程，是理论与实践的有机结合.强化数学建模的教学，不仅能使学生更好地掌握数学基础知识，学会数学的思想、方法、语言，也是为了学生树立正确的数学观，增强应用数学的意识，全面认识数学及其与科学、技术、社会的关系，提高分析问题和解决实际问题的能力.

2 培养学生的能力

数学建模教学体现了多方面能力的培养：（1） 翻译能力.能将实际问题用数学语言表达出来，建立数学模型，并能把数学问题的解用一般人所能理解的非数学语言表达出来；（2） 运用数学的能力.表现在能用数学工具对所建立的数学模型进行处理；（3） 交流合作能力.数学建模活动中常常是小组分工合作、密切配合、相互交流、集思广益，这种互相合作的精神是社会生活中极为需要的；（4） 创造能力.数学建模没有现成的答案，也没有现成的模式或通式，建模的过程有较大的灵活性，建模的结果一般说来只有最优解答，而非标准解答.因此，数学建模本身就给学生提供了一个自我学习、独立思考、认真探索的实践过程，提供了一个发挥创造才能的条件和氛围，通过建模，学生要从貌似不同的问题中窥探出本质特性，这样，有助于培养学生的想象力和洞察力.

3 发挥了学生的参与意识，体现了学生主体性

强化数学建模的教学，可极大地改变传统的教学法，它一改过去满堂灌模式为讨论班方式，教师扮演的是教学的设计者和指导者，学生是学习过程中的主体，师生处于平等地位.由于要求学生对学习的内容进行报告、答辩或争辩，因此极大地调动了学生自觉学习的积极性.根据现代建构主义学习观，知识不能简单地由教师或其他人传授给学生，而只能由学生依据自身已有的知识和经验主动地加以建构.所以数学建模教学符合现代教学理论，必将有助于教学质量的提高和素质教育的全面实施.

三、 数学建模的一般方法

数学建模是解决实际问题的过程，在这一个过程中，建立数学模型是最关键、最重要的环节，也是学生的困难所在.它需要运用数学的语言和工具，对部分现实世界的信息（现象、数据等）加以简化、抽象、翻译、归纳，通常采用机理分析和统计分析两种方法.机理分析法是指人们根据客观事物的特征，分析其内部的机理，弄清其因果关系，再在适当的简化假设下，利用合适的数学工具描述事物特征的数学模型.统计分析法是指通过测试得到一串数据，再利用数理统计的知识对这串数据进行处理，从而得到数学模型.

中学数学教学中，要使学生初步学会建立数学模型的方法，提高学生应用数学知识解决实际问题的能力，应着重注意以下几点：

1 审题

建立数学模型，首先要认真审题.在实际应用题中用到的有些概念和它的背景对学生来说，可能是全新的，就要对有关概念和背景事实作些必要的说明和阐释，导致文字繁多，叙述冗长，故要求学生耐心细致地读题，碰到对较长的语句能在重点词、数据下注上一些标记（如加点，划线等），帮助阅读理解.必须弄清每一个名词、概念，分析每一个已知条件和要求结论的数学意义（在历年的高考应用题中，没有一个多余条件），挖掘实际问题对所求的结论的限制等隐含条件.最终要做到深刻分解实际问题的背景，明确建模的目的；弄清问题中的主要已知事项，尽量掌握建模对象的各种信息；挖掘实际问题的内在规律，明确所求结论和对所求结论的限制条件.

2 简化

根据实际问题的特征和建模的目的，对问题进行必要简化，能用精确的数学语言来翻译一些语句，使题目简明、清晰.抓住主要因素，抛弃次要因素，根据数量关系，联系数学知识和方法，用精确的语言作出假设.

3 抽象

将已知条件与所求问题联系起来，恰当引入参数变量或适当建立坐标系，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子、图形或表格等形式表达出来，从而建立数学模型.

按上述方法建立起来的数学模型，是不是符合实际，理论上、方法上是否达到了优化，在对模型求解、分析以后通常还要用实际现象、数据等检验模型的合理性.

四、 如何立足教材强化建模教学

1 打好基础，强化意识

对于一个繁杂的实际问题，要能从中发现其本质，建立其数量关系，转化成数学问题，没有扎实的数学基础知识、基本技能和数学思想、方法是不可能的.因此，进行建模教学首先必须抓好数学知识的系统学习，打好基础.但是，我们也看到，解决常规问题的能力强，不见得解决实际问题的能力就强，从掌握知识到应用知识不是自然形成的.大纲指出：“能力是在知识的教学和技能的训练中，通过有意识的培养而得到发展的.”因此，教学中要注意从实际问题引入概念和规律，强化建模意识，用数学模型的方法解决实际问题.

2 挖掘教材，适当补充

从广义讲，一切数学概念、公式、方程式和算法系统等都是数学模型，可以说，数学建模的思想渗透在中小学数学教材中.因此，只要我们深入钻研教材，挖掘教材所蕴涵的应用数学的材料，并从中总结提炼，就能找到数学建模教学的素材.拓展、补充的数学建模问题，即要密切联系教学内容，又要源于现实，并且是学生感兴趣的、用所学知识能够解决的问题.例如：

ⅰ 建立或化归为函数模型

现实世界中普遍存在的所谓“最优化”问题，如最佳投资，成本最低，利润、产出最大，效益最好等问题，常常可以归结为函数的最值问题，通过建立目标函数，确定变量限制条件，运用函数知识和方法去解决.

例1 某商场购进一批单价为6元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多利润，商场决定提高销售价格.经试验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件，若按25元的价格销售时，每月能卖210件，假定每月销售件数x（件）是价格y（元/件）的一次函数.

（1） 试求x与y之间的关系式.

（2） 在商品不积压，且不考虑其它因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润？每月的最大利润是多少？?

ⅱ建立或化归为方程或不等式模型

现实世界中广泛存在着数量之间的相等或不等关系，如投资决策、人口控制、资源保护、生产规划、交通运输、水土流失，商品销售等问题中涉及的有关数量问题，常归结为解方程或解不等式，可以通过建立方程或不等式模型解决.

例2 建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比应不小于10％，并且这个比越大，住宅的采光条件越好.问同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了，还是变坏了？请说明理由.

ⅲ 建立或化归为数列模型

现实生活中的许多经济问题，如增长率、利息（单利、复利）、分期付款等与时间相关的实际问题；生物工程中的细胞繁殖与分裂等问题；人口增长、生态平衡、环境保护等社会生活的热点问题，物理学上的衰变、裂变等问题，常通过建立相应的数列模型求解.

例3：某县位于沙漠边缘，当地居民与风沙进行着艰苦的斗争，到2000年底全县的绿地面积已占全县面积的30%.从2001年起，县政府决定加大植树造林、开辟绿地的力度，则每年有16%的原沙漠变成绿地，但同时，原有绿地的4%又被侵蚀，变成了沙漠.

（1） 设全县面积为1，记2000年底的绿地面积为13，经过x年后的绿地面积为y，试用x表示y；

（2） 在这种政策下，全县绿地面积能超过80%吗？

（3） 问至少在多少年底，该县绿地面积超过全县面积的60%？

ⅳ 建立或化归为几何模型

现实世界中涉及一定图形属性的应用问题，如航行、建筑、拱桥、炮弹发射、卫星轨道问题，可以建立二次曲线模型;测量问题，可以建立解三角形模型.

五、 总结

数学建模教学成功的关键是要在这个过程中引导学生深层次的参与，充分体现学生的主体地位，这就要在教学中留给学生充分的空间和时间，才能取得较好的效果.在教学中必须坚持以学生为主体，不能脱离学生搞一些不切实际的建模教学，引导学生自主活动，自觉的在学习过程中构建数学建模意识，只有这样才能使学生分析和解决问题的能力得到长足的进步，也只有这样才能真正提高学生的创新能力，使学生学到有用的数学.

参考文献：

沈文选 中学数学建模方法导引与解题技巧 湖南长沙湖南师范大学出版社，1999

严士健 面向21世纪的中国数学教育 江苏教育出版社，1994

张双德 大学生数学建模竞赛与高等数学教育改革 数学教育学报，1999（8）

孔凡海 中学生数学建模的几点建议 中学数学教学参考，1998（1—2）

杨志文 数学应用问题的建模方法初探 数学通报,1997（5）