一道课本习题的证明与推广

摘 要：新课程教学中会遇到许多新的问题，这就需要我们去探究。本文就在数学选修教材2-2（北师大版）第22页中的一道习题进行了研究，并且得到了一般性的结论。

关键词：对号函数 分析法 综合法 结论推广

在数学选修教材2-2（北师大版）第22页中有一道习题：已知：a，b为正实数，且a+b=1，求证：3a+3b<4。笔者在教学中，对该题的解法进行了探讨，运用合情推理的方法，对该题的条件进行了变化，推出了一般性结论。

已知：a，b为正实数，且a+b=1，求证：3a+3b<4。

證法一（利用对号函数）：3a+3b=3a+31-a=3a+，设3a=t（1

证法二（分析法）：∵3a+3b-4<0，∴（3a-1）+（3b-3）<0，∴（3a-1）+（3b-3a+b）<0，∴（3a-1）-3b（3a-1）<0，即（3a-1）（3b-1）>0，由a>0，b>0且a+b=1及函数y=ax（a>1）是增函数知，（3a-1）（3b-1）>0成立。

证法三（综合法）：由题意知a>0，b>0，a+b=1，有00知3a-4+<0，即∵3a+31-a-4<0，故3a+3b<4。

由解法三我们想到，若将条件a>0，b>0，a+b=1一般化，将“1”变为“n（n∈Z）”，结论会发生什么变化呢？

若a，b为正实数，且a+b=n，则有00知3a-1-3n+<0，即因为3a+3n-a<3n+1，故3a+3b<3n+1。

既然“1”能换成“n”，那么将“3”换成“n（n∈Z）”，又能得到什么结论呢？

若a，b为正实数，且a+b=n，则有0

（1）若a>1则1

∵an>0知aa-1-an+<0，即aa+an-a

（2）若0

∵aa>0知aa-1-an+<0，即aa+an-a

据此，我们推广为一般结论：已知：a，b为正实数，且a+b=n，（n∈Z+，a∈R+），则aa+ab