浅谈特殊值法解数学客观题

古人云：授人以鱼，只供一饭；授人以渔，则终生受用无穷。学知识，更要学方法。在这里笔者谈一谈特殊值法在解数学客观题时的妙用。

所谓特殊值法，就是在某一范围内取一个特殊量，将繁杂的问题简单化，这对于解一些不需整个解题思维过程的客观题，可以收到事半功倍的效果。在一般性的问题中，通过特殊法往往能获得解题的重要信息，发现解决问题的有效途径。特殊值法解题的理论依据是：若对一般情形成立，则对特殊情形也成立；若某种特殊情形成立，则一般情形不一定成立；若对某种特殊情形不成立，则对一般情形也不成立。其关键在于如何寻求特殊值。下面举例说明：

一、取特殊数值

例1在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a、b、c成等差数列，则/1+=（ ）

解析：取特殊数值：不妨令a=3，b=4，c=5,则△ABC为直角三角形，=，=0，从而所求的值为。

例2 若a＞b＞1，P=，Q=(lga+lgb)，R=lg（）,则（）

（A）R＜ P＜ Q （B）P＜ Q＜ R

（C）Q＜ P＜ R （D）P＜ R＜ Q

解析：不妨令a=100,b=10,则此时P=,Q=＝lg,R= lg55=lg, 比较可知选B。

二、 取特殊函数

例3已知f(x)是偶函数，xR,当x＞0时，f(x)是增函数， 若x1<0,x2>0,且|x1|<|x2|，则（）

（A）f(-x1)>f(-x2)（B）f(-x1)

（C）-f(x1)>-f(x2)（D）-f(x1)>f(-x2)

解析：因为“f(x)是偶函数，xR,当x＞0时，f(x)是增函数”，所以可以取特殊函数，令f(x)=x2,勾勒出草图，立即可得答案为B。

例4若f(x)、g(x)分别为［-2，2］上的奇函数和偶函数，则函数y=f(x)g(x)的图像一定关于（ ）对称。

（A） 原点（B）y轴（C）x轴（D）直线y=x

解析：令f(x)=x,g(x) =x2,立即可得结果A。

三、取特殊图形

例5 从P点引出三条两两成60度的射线PA、PB、PC，且PA=6，则A到面PBC的距离是（）

（A）（B）3（C）（D）

解析：取棱长为6的正四面体P-ABC，此时正四面体的高就等于A到面PBC距离,不难算出是，故选A。

例6 平行六面体ABCD-A1B1C1D1的体积为30，则四面体AB1CD1的体积为（）

（A）15（B）7.5（C）10（D）6

解析：取特殊平行六面体为正方体，则四面体AB1CD1的体积是正方体体积的三分之一，口算即得结果为C。

注：取正棱柱为特殊棱柱，取正棱锥为特殊棱锥是解立体几何选择题时常用的简便方法。

四、取特殊位置

例7 设Ｐ是棱长相等的四面体Ａ-BCD内任意一点，且Ｐ到各个面的距离之和是一个定值，则这个定值等于（）

（A）四面体的棱长 （B）四面体的斜高

（C）四面体的高 （D） 四面体两对棱间的距离

解法一：直接法——用体积转化法求解。

所以SACB=SBCD=SACD=SABD

VA-BCD=VP-ABC+VP-ACD+VP-BCD+VP-ABD

=S△ABCh1＋S△ACDh2＋S△CBDh3＋S△ABDh4

=S△ABC(h1+h2+h3+h4)

从而有h1+h2+h3+h4＝h，故选C。

解法二：取特殊位置，将P点置于四面体的某一个顶点处，口算即得结果为C。

通过这几个例题，我们不难发现用特殊值法解客观题的一些规律：

（1）特殊值法是选取满足题干的特殊数值、特殊点、特殊函数、特殊图形等代替一般，并由此运算出结果，从而达到快速准确、简明扼要地筛选出“真支”的解题效果。

（2）特殊值法比较适用于结论具有一般性的题目，尤其是适用于“对某一范围或满足某种条件的所有对象，某种属性或某种关系恒成立”这样一类以全称形式出现的命题。