推理类试题的构建与解题程序

推理类试题是指通过呈现考生一个或几个已知的判断(前提),推导出一个未知的结论的一类试题.因为推理是形式逻辑,是一种极强的思维活动,有利于提升学生的思维品质.因此,推理类试题一直是中考命题的热点而备受师生关注.

推理类试题以合情推理或逻辑推理为主要命题目标,通常情况下,也把说理作为推理的一种重要表现形式.实践中,说理是更为广泛的概念,既可以表现为严密的逻辑推理,也可以表示为非严格的合情推理.近年来推理类试题的模型架构可以归纳为：推理性结果=f(情境、对象、条件、推理性任务),其中f反映的是这四大要素之间的结构关系(可以简称为关系),这四大要素也可以看成是试题的四个变量,根据试题模型架构中任务要素的思维特征,推理类试题可以大概地分为合情推理类试题、说理推理类试题,综合推理类试题三类.

1 合情推理

合情推理类试题指一类合乎情理但非严格的逻辑的推理类试题,其所蕴含的思维方式主要是归纳、类比、空间想象,统计推断、直觉推断等,其基本特征是：它能再现数学结论发现的过程来源.合情推理类试题的模型架构为：合理推理性结果=f(合理推理性情境、对象、条件、合理推理性任务),根据合理推理类试题提供的情境不同,合情推理类试题大致可分为以下两类.

1.1 归纳为主的合情推理

归纳推理就是从许多个别的事物中概括出一般性概念、原则或结论,即从特殊到一般.归纳为主的合情推理类试题的基本特点是：给出若干个特殊数列(或关系)或图列或点列,推理出一般性的结论,或由这一般性的结论所作出的进一步推断,它蕴含了考查归纳推理的功能.归纳为主的合情推理类试题的解题程序是：特例引路——合情推断——归纳总结——反思运用.

1.1.1 数列推理

例1 (广西桂林)

点评 本题可以归纳为数列(或关系)类试题,所给出的不是若干具体的数,而是若干前后项之间的关系,要求的是一个具体项数较大的项的结果,求解时先需根据个案之间的关系,具体运算各项,然后再作归纳,其中包含了两种形式的思维,这样的试题结构具有考查简单的运算与归纳能力及对符号的理解与数感的功能,由于求解过程简单,用填空题型将其设计为试题就较好地发挥出试题所具有的考查功能,因而这样的题型使用是适当的.

1.1.2 图列推理

例2 (湖北恩施)

2002年在北京召开的世界数学大会会标图案是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形,中间的阴影部分是一个小正方形的“赵爽弦图”.若这四个全等的直角三角形有一个角为30°,顶点B1、B2、B3 …、Bn和C1、C2、C3、…、Cn分别在直线y=-1[]2x+3+1和x轴上(图1),则第n个阴影正方形的面积为_________.

点评 本题可以归纳为图列类试题.

由于图列各项和前后项之间的关系蕴含了可归纳、

推断出一般项的规律,因而具有考查学生由特殊到一般的归纳能力的功能,鉴于图列中每个阴影的面积需要先计算 而计算又相对难以表达,在不清楚学生可能犯错的种种现象又不失对思维过程与思维准确性的考查时,使用填空题型来设计该试题是一种较为保险的方式,与例1有不同的是,例1以一般性结果为前提求一个较大的数的结果,而这里是一般性的结果,它们的本质与难度基本相当.

1.1.3 点列推理

例3 (安徽中考)

在平面直角坐标系中,一蚂蚁从原点O出发,按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动,每次移动1个单位,其行走路线如图2所示．

(1)填写下列各点的坐标：A4( , )、A8( , )、A12( , )；

(2)写出点A4n的坐标(n是正整数)；

点评 本题的试题构造有两个特点：其一,从某点开始,后面的点列由作图的方式逐步确定；其二,由横坐标构成的数列中,所求的横坐标所处于的位置,项数不大,尽管从项数不大可逐步求解的角度看,它不是一道归纳性试题,但结果可从前面项所隐含的规律推测出的角度看,却可以将它看成归纳性试题,这样的试题可考查对作图的理解,数形的转换与求解,由前特殊项归纳出一般项进而进行推断的能力.

1.2 空间想象为主的合情推理

正常条件下眼睛看到的事物是平面图形,而事实是立体的,这就需要去思考事物的具体形状、位置.这种想象就是空间想象,而想的与事实是否一致,就是空间想象能力的体现.空间想象能力就是：大脑通过观察、触摸,以及实践经验得到的一种能思考物体形状、位置的能力.空间想象为主的合情推理类试题中,空间想象成为一种主导性思维,其特点是：情景与求解多与想象有关,其中某些也包含一定的分析思维,因而,它具有考查空间想象能力及一定程度分析能力的功能,由于解答这类试题的思维过程往往不便于表达,往往使用填空题型或选择题型将这类试题设计为考题.

想象为主的合情推理类试题的解题程序是：观察图形——联想实物(或动手操作)——对比分析——合情推断.例4 (广西梧州)

图3是由两个长方体组合而成的一个立体图形的三视图,根据图中所标尺寸(单位： mm),计算出这个立体图形的表面积是_________mm2．

点评 往年有过这样的题目：给出一个由小立方体搭成的组合图形的三视图,求这样的小立方体最少有多少个,本题与其略有不同,它反过来给了一个组合图形,以及由这个组合图形所得到的三视图,问这个组合图形的表面积是多少,这两种构题方式所构造的试题均蕴含由三视图来考查学生的空间观念,对于本题而言,由于试题有一定的开放性而求解过程又可在头脑中快速完成,使用填空题型设计为试题是适宜的.

2 说理推理

说理推理类试题是从现有的题设(条件)出发,运用逻辑证明或数学运算,推导出问题中所提供的结论是否正确.说理通常有两种,一种是严格意义上的证明,一种是严格证明外的其他说理方法.总体来讲,前一种说理依然是中考的重要内容之一,但所凭借的说理推理类试题的构造有所变化,难度有所控制,后种说理已成为说理推理类试题的新的重要成员.说理推理类试题模型是：结果=f(说理性情境、对象、条件、说理性任务),根据说理方式的不同,具体又可将说理推理类试题分为如下三种形式.

2.1 用计算的结果说理推理

用数据说话,数据胜于雄辩.这类以计算为主的推理类试题的基本特点是：题设为解决问题提供必要的数据,考生利用这些数据通过计算得出解决问题需要的结果.基于计算的说理推理试题蕴含既可考查说理水平,又可在一定程度上考查计算能力.

基于计算的说理推理试题的解题程序是：阅读情境——构建模型——准确计算——依据说理.

例5 (山东聊城)

某公司为了调动员工的积极性,决定实行目标管理,即确定个人年利润目标,根据目标完成的情况对员工进行适当的奖惩.为了确定这一目标,公司对上一年员工所创的年利润进行了抽样调查,并制成了如下的统计图(图4)．

(1)求样本容量,并补全条形统计图；

(2)求样本的众数,中位数和平均数；

(3)如果想让一半左右的员工都能达到目标,你认为个人年利润定为多少合适？如果想确定一个较高的目标,个人年利润又该怎样定才合适？并说明理由．

点评 这道试题的情境来源于生产生活,主要信息由扇形统计图给定,解答前两个小题时需要考生先阅读获取解答问题所需的数据,然后计算,后一小题的决策所需判断都由计算确定,这其中暗含了考查基于计算说理的功能.由于由统计图可以引出多个不同结论,且每个结论的得出过程简单,为全面考查对扇形图的认识了解水平,使用填空题型也是较为恰当的选择.

2.2 用分析的方法说理推理

利用基本图形所蕴含的规律设计试题有利于引导老师的教学,是培养发散性思维的有效途径.这里的分析为主的推理与严格意义上的分析证明有所不同，它主要发生在头脑中而不必用文字写出,常以选择题和填空题型将这类问题设计为试题,所选取的题材一般以基本图形为主,所得出的试题可在一定程度上考查出学生的分析与说理思维水平.这种做法已经受到不少地方的关注.用分析的方法说理的解题程序是：观察图形——有效提炼(基本图形)——关注发散——分析推断.

例6 (黑龙江哈尔滨)

如图5,正方形ABCD中,AB＝6,点E在边CD上,且CD＝3DE.将△ADE沿AE对折至△AFE,延长EF交边BC于点G,连结AG、CF.下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③AG∥CF;④S△FGC=3. 其中正确结论的个数是()

A.1 B.2 C.3D.4

点评 本题的试题来源于常见的正方形,题目以折叠△ADE为基本对象,以考查对正方形中图形的变化的理解为目标,确定了试题的基本形态,由于本试题可考查出对于多个结论的理解,当以多项填空题的方式呈现时,便可较好地发挥试题所蕴含的这一考查功能,试题的解答需要逐一分析、推理、判断,但通过对知识的回忆及理解便可立即作答,因而本题这种运用选择题型的方式也是较为合适的.

2.3 用逻辑的形式说理推理

把不同排列顺序的意识进行相关性的推导就是逻辑推理. 这里的说理是严格形式的逻辑推理,这类试题能够较好地考查学生的逻辑推理能力及其与之相关的理解能力,基于这类问题设计试题考查严格形式逻辑推理,是绝大多数试卷所必需涉及的,反映了数学教育与评价的必然要求,但其题型的使用视具体情况而定.

用逻辑的形式说理推理解答问题的程序是：从题设出发,利用所学过的定理、定义、推出所要证明的结论.

例7 (湖北武汉)(1)如图6,在△ABC中,点D、E、Q分别在AB、AC、BC上,且DE∥BC,AQ交DE于点P,求证：DP[]BQ=PE[]QC.

(2)如图7,△ABC中,∠BAC=90°,正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上,连接AG,AF分别交DE于M,N两点．

①如图7,若AB=AC=1,直接写出MN的长；

②如图8,求证：MN2=DM•EN．

点评 本题以三角形为基础图形,以图形的演绎变化来创设试题,根据图形出现的不同状态,设置了证明与计算两类试题,在相似或面积相等条件下,设置了等积式的证明和求线段的长度.这样的试题设计蕴含了考查逻辑推理能力,探究分析能力.为了发挥试题的考查功能,要求学生展示思维、推理、求解过程是必需的,因而选用表述形式的解答题题型设计本题较为合理,它能较好地充分地发挥试题所含有的考查功能.

3 综合推理

综合性推理试题是指一类包含了不同推理形式的推理类试题,其试题模型是：结果=f(综合性推理情境、对象、条件、说理性任务),主要表现形式有三种：既涉及到合情推理,又涉及到逻辑推理的说理型试题；包含了不同说理方式的说理试题；包含了不同形式合情推理的说理型试题,这类试题主要具有考查学生综合推理能力或一定程度的创新思维与探究思维能力等功能,运用这类试题设计试题较为普遍.

3.1 合情推理与说理推理结合的综合推理

近年的中考试卷中,运用这类试题设计试题在多卷出现,其主要目标用于考查这两个方面的联合运用能力,其题型运用一般以解答题为主.

合情推理与说理推理结合的综合推理的一般程序是：先合情推断——再严格说理.

这类问题一般由静态的基本图形与动态的问题展开,蕴含两个方面的任务：判断,包含合情推理的成分；说明理由(为什么？)属于说理型推理.这种猜想与证明前后相连的问题,可以考查合情推理与逻辑推理的能力.

3.2 求解与证明结合的综合推理

综合性推理试题中最常见的一类是求解与证明结合,这样的试题可兼顾实现运算与推理两方面能力的考查.因为这类题目一般是以压轴题的形式出现,所以其解题的一般程序需因具体的问题而定.

如何有效、合理、科学的运用推理类试题,作为一个实践中正在探索的领域需要我们不断的就运用方式进行讨论,以达到预期的考查目标.