探求与椭圆共轭直径有关的一组对偶元素

拜读了文[1][2][3]后,文章很精彩,给笔者注入了鲜活的血液，笔者感受颇多,想提出以下几个问题.

问题1：文[1]命题1中“对偶元素”其实质是由四边形 的对角线交点确定点 ,其两对边延长线交点确定直线 （ 为椭圆长轴）.如果这个四边形对角线 不是椭圆长轴，而是椭圆任意一条直径，那么这样的“对偶元素”还存在吗？如果存在，怎样定义?如果点 是直径所确定直线上的任意一点（除原点外），那么与点 为“对偶元素”的直线 方程是什么？以上问题旨在说明“对偶元素”是否具有一般性？

问题2：文[2]各定理与推论中点 所确定的直线方程是否可求？如果可求，直线方程是什么？

问题3：文[3]中结论1怎么证明？优美结论的背后蕴含着怎样的丰富内容呢？它与“对偶元素”有何联系呢？

带着这些问题，笔者经过一番求解得出：问题1中这样的“对偶元素” 存在；问题2中直线 方程可求；问题3中，文[3]结论1点 与直线 互为“对偶元素”.

下文就椭圆中是否存在一般性“对偶元素”（即从更一般性的条件证明文[3]中结论1）和证明“椭圆幂定理”作一探究.

为行文方便现给出一般性“对偶元素”的定义如下：在椭圆中，点 在椭圆直径 所确定直线上任意一点（除原点外），若直线 与直径 的共轭直径 平行，点 与直线 在椭圆中心的同侧，记点 到椭圆中心的距离为 ，记直线 与直线 的交点 到椭圆中心的距离为 ，且 与 的乘积为直径 一半长的平方，则称点 与直线 为“对偶元素”.

定理如图，已知椭圆方程为 ,是椭圆一对共轭直径. 是直线 上一定点.设点 ，点 .过 作直线 平行于直线 ,过 任意作直线 交椭圆于点 ,直线 与 相交于点 ，直线 与 相交于点 ，连接 ，点 确定直线 .直线 交椭圆于两点,交直线 于点 .直线 与 分别交直线 于 、 .直线 与 分别交直线 于 、 .直线 ,直线 .

证明：（1） ,即点 与直线 ： 为“对偶元素”，当点 时，直线 方程为 ;

（2）当 时， （椭圆幂定理）.

证明： 先求解直线 的斜率

( 的斜率).

=

又有 .

，

.

.

.设直线 方程为 ,将 ， 代入方程化简得到直线 方程为 ①.

又直线 方程为 ②，由①②解得点 坐标为

.

根据定义，点 与直线 为“对偶元素”，且直线 方程为 .若点 ，即

代入直线 ： 得 .

由此说明当 （保证 在椭圆外）时，与点 为“对偶元素”的直线 为通过点 作椭圆的两条切线，两切点所确定的直线.

这就证明了文[3]中结论1.

(2)

三点共线,， .

∥ .

∥

③.

∥ ∥

④.

由③④可得

几点说明：

1.当 时， 为长轴，点 与直线 : 为“对偶元素”;

2.当 时， 为短轴，点 与直线 : 为“对偶元素”;

3.通过椭圆外一点 作椭圆的两条切线，两切点确定的直线 与点 为“对偶元素”，且直线 方程为 .

参考文献

[1]张朝阳.圆锥曲线中与顶点有关的一组对偶元素性质[J].数学通报，2010（3）.

[2]黄华松 何微.多树一果味更美—多姿多彩的“椭圆幂定理”赏析[J].中学数学教学参考(高中),2007（3）.

[3]高凯.一道竞赛题的推广[J].数学通讯，2011（2）（下半月）.

[4]苏立标.探求以“ ”的圆锥曲线[J]. 中学数学教学参考(高中),2006(5).

[5]于先金.椭圆与共轭直径有关的一个性质[J]. 中学数学教学参考(高中),2006(8).

[6]唐秀颖.数学解题辞典(平面解析几何)[M].上海:上海辞书出版社,1983.