心电模型中的混沌特性研究

（1.贵州省广播电视台,贵州贵阳550003；2.河南漯河联合网络通信公司，河南漯河462000；3.北京理工大学，北京100081；4.华中科技大学控制系，湖北武汉430074）

摘要：该文对心电模型中的RR间期时间序列模型的输出值进行分析，通过对模拟的RR间期时间序列进行相空间重构、关联维计算、最大Lyapuvo指数计算，得出模拟的RR间期时间序列具有混沌特性，即心电模型具有混沌特性。

关键词：心电模型；RR间期时间序列；混沌；相空间重构；关联维；最大Lyapunov指数

中图分类号：TP311文献标识码：A文章编号：1009-3044(2012)07-1644-04

Chaotic Characteristics of the ECG Model

BAI Jian-jun1, SHAN Fang2, GUO Meng3, LI Xue-wei4

(1.Radio and Television Stations in Guizhou Province, Guiyang 550003, China; 2.Henan Luohe Joint Network Communications Companies, Luohe 462000, China; 3.Beijing Institute of Technology, Beijing 100081, China;4.Huazhong University of Science and Technology, Wuhan 430074, China)

Abstract: The article using simulated RR interval time series of two-dimension chaotic attractors phase space reconstruction, correlation dimension, largest Lyapunov exponent calculation, the various evidence demonstrates the RR interval time series model of chaotic characteristics, that is, the dynamical motion of ECG model is chaotic.

Key words: dynamical motion; RR interval time series；chaotic; phase space reconstruction；correlation；largest Lyapunov exponent

心电信号记录着心脏生理电活动，是诊断心脏疾病、评价心脏功能的重要依据之一。人们已经研制出了各种心电信号模拟仪器，模拟出来的心电信号在一定程度上与实测的心电信号相似，但还不能完全满足实际需要，如何获得更加逼真的模拟心电信号，成为了急需解决的问题。混沌的分析方法有混沌的模型分析和混沌的数值分析两种。从模型的实际情况出发，以模拟RR间期时间序列为研究对象，从数值分析角度来进行混沌研究，通过模拟RR间期时间序列的二维相空间重构、关联维数和最大Lyapunov指数的计算，表明RR间期时间序列模型的混沌特性，即心电模型所描述的动力学运动具有混沌性，这对通过混沌控制获得更加逼真的模拟心电信号具有十分重要的指导意义。

1心电模型中的RR间期序列模型

心电信号中的RR间期时间序列是指相邻R波之间的时间间隔，反映了心脏活动的重要信息，P.E.McSharry等人提出的ECG动力学模型中有对RR间期序列的模拟，数学模型为：

s(f)=

时间序列的功率谱图信号，经过傅里叶反变换可得到对应的时域信号用以模拟RR间期时间序列，在傅里叶反变换时利用随机函数设定s的相位，使模拟得到的时域结果具有随机性。首先将s序列的后一半替换成前一半的倒序，得到具有对称性的新序列s1，在MATLAB中使用随机函数生成一个同样长度，自身前后对称的随机数序列s2，将s1、s2用式(2)作运算得到序列T。

T=IFFT-s1×ejs2

（2）将T的实数部分归一化到区间() 0,1，然后将序列乘以系数再叠加常数即可得到模拟的RR间期时间序列。图1为模拟RR间期时间序列图，其中横坐标为心脏跳动的拍数，纵坐标为每拍所花的时间。从图中可以看出由此数学模型模拟的正常人的心电信号RR间期时间序列数据值稳定在0.94～1.05，与实际的正常人RR间期值0.6～1.0，基本相同，以此模型的输出值模拟的RR间期时间序列值为研究对象符合实际情况。

2相空间重构

对动力系统的研究存在着正问题和反问题两种模式，动力系统正问题是：已知明确的动力学规律（微分方程或映射规则），求此动力系统在各种参数下可能有的各种形态及其各种定量表征，如熵、维数及Lyapunov指数等。动力系统的反问题是：只能测出一个实验系统的某一种物理量的实验数据时间序列，而对支配这一系统演化的动力学规律毫无所知，我们希望从测到的时间序列来恢复这个系统的动力学，重建各个混沌状态的定量特征。

重构一个合适的相空间，必须选择合适的延迟时间τ和嵌入维数m。根据Takens的嵌入定理可知，在没有噪声、无限长的精确数据的情况下可任意选取延迟时间τ，但实际时间序列是有限长的，且一般都有噪声干扰，因此，在重构相空间时应满足：m≥2d+1（d为分维数）。在重构过程中选取τ遵从一定的原则，从理论上讲，τ值的选取几乎是任意的，但在实际系统中，τ的选取亦应通过反复试算来确定。如果τ值过小，坐标相关性太强，所有坐标几乎是一致的，轨线在相空间趋于一直线，并且相空间轨迹沿同一方向挤压，信息不易泄漏；反之，τ值过大，轨线在相空间中会出现间断现象，可能导致比较简单的几何图形在相空间中看起来非常复杂，系统的相图失真；并且在混沌和噪声情况下，由于蝴蝶效应的影响导致时间的动力学形态变化剧烈。大量的实验表明，相空间特征量依赖于一个合适的τ值，使得x( )τ和嵌入维数m的选取有困难，但是在相空间重构中具有十分重要的意义。

延迟时间τ是一个重要的重构相空间的参数，其选择方法有自相关函数法、关联积分法、最小互信息法等，但自相关函数法所得出的结果误差较大，这里主要用最小互信息法和关联积分方法。通过Matlab编程用互信息函数的方法对心电模型中模拟的RR间期时间序列进行分析，序列长度为250。如图2所示，互信息函数值首次达到局部最小时，延迟时间τ=3。图形中的横坐标轴为延迟时间值，这里设定的最大延迟时间为30，显然设定不同的最大延迟时间，用互信息方法所得到的最佳延迟时间值会有所差别，这可经过多次实验确定，再者，由于仿真的RR间期时间序列值有一定的随机性（在正常值范围内），每次实验的结果也会有一些差异，但这并不影响结果。

图2互信息函数法得到的延迟时间图

关联积分法（即C-C法）也是计算时间延迟的一种有效方法，这种方法具有计算量小、容易操作、对小数据组可靠、效果与互信息函数法一致等特点。通过Matlab编程用C-C方法对模拟RR间期时间序列延迟时间进行计算，从图3可以看出，ΔSˉ(τ)第一次达到局部最小时，τ=5，即用关联积分方法得到模拟RR间期时间序列的最佳延迟时间为τ=5。

由图2和图3对比可知，互信息函数法和C-C法得出的最佳延迟时间τ值基本相同，根据得出的最佳延迟时间τ=5，表1为对三组模拟RR间期时间序列用互信息方法和C-C方法得出的最佳延迟时间。

由上表可以看出，由最小互信息方法和C-C方法得到的最佳延迟时间基本相同。在延迟时间τ=5时可以重构出模拟RR时间序列的二维相空间图，如图4所示。可以看出，重构的二维相图中，图形的轨迹是具有特殊结构的轨线。这表明系统的运动有可能是混沌的，图中可能存在混沌吸引子。

3嵌入维数的确定

利用CAO方法和得到的模拟RR间期时间序列延迟时间τ来确定最佳嵌入维数。从图5可看出在嵌入维数m=3时,曲线值有明显的变化，之后曲线值趋于平缓，说明当嵌入维数m=3时，重构的分量能够最大程度的反映原来系统的特征。由CAO方法可知，随机数列E2(m)对于任何m而恒为1，对于确定性时间序列，E2(m)与m有关，对于任何m值，E2(m)不可能为常数，即不等于1，若E2(m)为1或在1附近，表明这个时间序列为随机序列。对于确定性混沌序列，E2(m)不可能对任一m都等于1，会渐渐趋近于1，而对其他的确定性序列，则不一定会渐近趋向1。因此由图5可知此序列可能具有混沌特性，并且由C-C方法得到的最佳嵌入维数为3，这与Cao方法得到的值相同，表2为三组模拟RR序列的最佳嵌入维数值。

4算关联维

由上文得到的最佳延迟时间τ和GP算法，计算模拟RR间期时间序列的关联维。图6为模拟的RR间期时间序列的关联维图，图中嵌入维数m从2到10依次变化。当m =6时，所得的关联维数基本趋于稳定。在图形的末端，不同维数的曲线出现相互平行或者重合的部分，这些线性部分的斜率大小就是该系统的关联维数，由最小二乘法拟合得到的该系统的关联维数为D′=4.5238，此系统关联维数为分数，由此可推断此系统具有一定的混沌特性。用同样的方法对三组模拟RR间期时间序列求关联维数如表3所示。

表3三组模拟RR间期时间序列求关联维数值

5模拟RR间期时间序列最大Lyapunov指数计算与分析

混沌系统的一个基本特性就是系统运动对初始条件的极端敏感性。Lyapunov指数就是对这种敏感程度的度量。对于一个确定性系统，最大Lyapunov指数为正，表明此系统是混沌的，并且其值越大说明此系统的混沌性越强。因此可通过计算系统的最大Lyapunov指数来判断系统是否存在动力学混沌。

计算Lyapunov指数的方法大体上可分为两大类：一类是Jacobi法，另一类是wolf法。小数据量方法也是一种计算最大Lyapunov指数的方法，具有计算量小、易操作、对小数据组比较可靠等优点。对生成的3组模拟RR间期时间序列用小数据量法和Wolf法计算最大Lyapunov指数值，结果如表4，这与用Wolf法计算的值基本吻合，从而也就证明了RR间期时间序列数学模型的输出数据具有混沌特征，这也就证明了P.E.McSharry和G.D.Clifford所提出的ECG动力学模型所描述的动力学运动具有显著的混沌特征。

表4 3组模拟RR序列最大Lyapunov指数值

6结论

对模拟的RR间期时间序列的分析，首先进行相空间重构，而相空间重构需要确定延迟时间t以及嵌入维数m。本文通过互信息函数法和C-C方法来分别计算延迟时间t，这两种方法计算结果基本相同，从而确定了延迟时间t，同时利用Lorenz系统对方法的正确性进行证明，并在此基础上对模拟RR间期时间序列进行了二维吸引子重构，通过相空间混沌吸引子初步判断了RR间期时间序列模型的混沌特性。在计算嵌入维数m时采用Cao方法，在用这种方法之前采用Lorenz系统进行验证，使结果更具有说服力。接着，本文又计算了关联维，得出了模拟RR序列的关联维数为分数，这种方法也证明了模拟RR间期时间序列具有混沌特性。随后为了提供更为有力的证据来证明序列的混沌性，利用Wolf法和小数据量法分别计算出了序列的最大Lyapunov指数值，这也就证明了RR间期时间序列模型具有混沌特性，从而证明了心电模型的混沌性。

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