将静电场的“高斯定理”推广至万有引力场

摘要： “高斯定理”是电磁学中一个重要定理，在理论构建和实际应用上都有着重要意义。本文牢牢抓住静电学高斯定理成立的核心条件——静电力满足平方反比律和叠加原理，通过类比分析，发现万有引力具有相同的特点，可以引入“源—场强度—通量”这一套研究体系进行处理，进而建立起万有引力场的“高斯定理”，并讨论了这一理论在实际应用中的优越性。

关键词： 高斯定理 万有引力场 建立 应用

1.引言

高斯定理是物理学中一个非常重要的内容。一直以来，国内外学术界对高斯定理的研究偏重于应用方面，且较为零散，主要集中于电磁学领域［１］［２］［３］，如求解电力线方程、求电场强度、结合一些对称性进行计算简化等，但是对高斯定理从理论上进行全面系统的分析并进行推广的却相对较少。实际上，在传统研究的基础上，把高斯定理推广到物理学中的其他领域（比如力学）及其他数学表述形式（二维平面形式、复变函数形式）都将具有深刻意义［２］［３］，可以加深对高斯定理的含义的理解和运用的掌握，展示出高斯定理在大学物理中应用研究的广泛性。本文对“高斯定理”这一理论研究形式在万有引力场推广的可能性进行讨论，期望能够帮助大家更本质地把握高斯定理。

2.万有引力与静电力的对比

2.1平方反比律

以万有引力为例，众所周知，作为力学领域和电磁学领域奠基性的定律，万有引力定律与库仑定律均满足平方反比律［４］［５］：

F =G ；F = • （1）

（G、ε 分别为引力场量、真空中的介电常数）

在电磁场中，高斯定理建立的理论基础是库仑定律，其核心是库仑力的平方反比律，这一点在电磁学中的证明已经体现得淋漓尽致。于是，我们便自然地想到：同样满足平方反比律的万有引力场中，理应可以建立类似的“引力场高斯定理”，从而将引力场理论丰富完善，甚至可帮助我们在相关领域内简化计算。

2.2叠加原理

当然，我们不能忽略证明电磁学高斯定理的另一重要实验基础——库仑力可叠加性［５］。这是由实验严格证实的，独立于库仑定律的一个重要事实。其公式表述为：

点电荷离散分布情况：F= F （2）

电荷连续分布情况：F=•

=• （3）

而在万有引力场中，质点m受到多个质点m （d=1，2，3…n）的引力作用时，m受到的总的引力是各质点单独存在时m受到引力的矢量和［４］［６］：

F= F （即同样满足叠加原理）（4）

若求m与连续体M之间的万有引力，利用叠加原理，将连续体看作多“质点”组成，所以F可用积分的方法求得：

F== ρ（ρ为连续体体密度）（5）

因此，我们发现，万有引力与库仑力一样，均满足平方反比律和叠加原理，因此，可以考虑引入电磁学对“电场”的研究方法去讨论“万有引力场”，着重从“场通量”角度切入，从而建立起反映“场通量”与“源（物质）”之间关系的“高斯定理”。

3.万有引力场的“引力场强度矢量”的引入

电场强度作为电磁学中极其重要的一个物理量，从“力”的角度描述了“场”点的电学特性，其定义是单位点电荷在电场中所受的电场力，用公式形式表示即为[5]：

= （其中q 为场点处的试探电荷）（6）

=（7）

根据前面分析，我们同样可在万有引力场中定义一矢量“万有引力场强”，其方向与质点在该场中的受力方向一致，大小等于单位质点在场中所受到的万有引力的大小，用公式表示为：

= =-（8）

（其中，r为该点与万有引力场源的距离，M为万有引力的场源，“-”表示方向为吸引）。

这样，引入“万有引力场强”这一矢量后，我们对万有引力的讨论不再局限于超距作用理论的点对点作用，对场自身的讨论成为更重要的内容。同样，我们也可用法拉第提出的“场线”形式去描述引力场的特点，此时，矢量将派上大用场。

4.万有引力场的“高斯定理”的建立

首先，回顾一下静电场高斯定理的内容：电场中任一闭合闭面的电通量等于该曲面内电荷的代数和除以ε：

Φ= •d = （9）

在电磁学中已经讨论得非常清楚——静电场的高斯定理是静电力满足库仑平方反比定律和叠加原理的必然结论。因此，万有引力场也必定存在与上式形似的“高斯定理”，无须证明即可得出：万有引力场中对任一闭合曲面的引力场强的通量等于该曲面内所包含的总质量M除以- ，用公式表示得：

Φ万=•d = =-4πG M （10）

至此，我们通过深入分析万有引力与静电力之间的相似点，成功地建立了万有引力场的“高斯定理”，将空间中任意一区间的万有引力场强通量与该区域内的源物质联系起来，开拓了我们研究的视野，方便了计算和分析，同时也让我们更深刻地认识到“源—场强度—通量”这一套研究体系要比传统的“点对点”的超距作用观点更进步、更合理、具有更广泛的实用性。因此，我们得出一个结论：在处理物理学领域的其他不同类型“力”时，只要其同时满足平方反比律和叠加原理，就可以运用“源—场强度—通量”这一套研究体系进行处理，并能从更高的角度分析问题、解决问题。“高斯定理”便是其中的必然理论之一。

5.应用

万有引力定律的高斯定理不但可以帮助我们对理论的构建更清晰，还能帮助我们解决一些实际的难题，现给出一个例子进行说明。

例：如图1所示，科学家们试图在火星上挖出一直隧道纵贯两半球（假设火星为一标准球体，且隧道无限光滑），隧道离火星中心垂直距离为l，火星半径为R，密度已知为ρ。现将一质量为m的小球放入隧道一端，试讨论小球在火星内部的运动情况。

分析：此问题的困难之处在于当小球位于火星内部时，它所受到的万有引力来自四面八方均匀但不对称分布的火星物质，此时其受力情况复杂，难以直接运用牛顿定律求解。但是，注意到火星可看做标准球体，且密度恒定，因为其激发的万有引力场是具有高度的球对称性，所以我们可以运用高斯定理进行处理，使问题得以简化。

解：如图1所示：沿隧道方向建立坐标系（取隧道为X轴），通过火星中心向X轴作垂线并相交于一点o′，令此点为X轴坐标原点。当小球位于P点时，其到火星中心o点距离为r，到坐标原点o′距离为x。小球在该点处的受力情况便可用其质量与该点引力场强（仅决定于火星，因小球相对于火星太小，为试探物体，对该点场影响可忽略）乘积表示出来。故第一步是求P点处的引力场强。根据对称性分析，可以o为中心，r为半径过P点作一高斯面S，则对球面S的通量可由高斯定理表示出来：

Φ万=•d =-•4πr =-4πG• M

=4πG• πr ρ（11）

E = πρGr（12）

利用公式（8），小球受力：

F=mE = πρGrm（13）

又由于受到隧道束缚且隧道无限光滑，物体在水平方向上（沿X轴方向）受力仅为F在x轴上的分力：

F =F• = πρGmx（14）

现在，问题的困难部分已解决，剩下的便是运用牛顿定律求解了。根据牛顿第二定律：

F =m =- πρGmx（15）

=- πρGx（16）

这是大家非常熟悉的简谐振动微分方程，解之，得：

谐振频率：ω= （17）

振动周期：T= = （18）

于是，我们可知小球在隧道中作简谐振动，穿越时间为 =，与m、l等因素无关。

6.小结

本文通过对静电力与万有引力的类比分析，通过引入“引力场强度矢量”，建立起万有引力场的“高斯定理”，指出“高斯定理”这一理论形式的实质是将空间场通量与该空间区域包含的源物质进行的关联。由此可见，与静电场中的高斯定理作用相似，万有引力高斯定理同样因为利用了场源对称性，化微分为积分形式，从而大大简化了计算，方便了问题的处理。

参考文献：

［1］郭文立.静电场中高斯定理的证明与证明中存在的一个问题［J］.濮阳教育学院学报，2001，11（4）：43-45.

［2］籍延坤.高斯定理的数学证明［J］.大连铁道学院学报，2004，9（3）：13-16.

［3］罗琬华.论“场”和“源”的统一——再论麦克斯韦方程组的意义［J］.西南师范大学学报，2001，26（1）：25-27.

［4］漆安慎，杜婵英.力学［M］.北京：高等教育出版社，1997：43-44.

［5］赵凯华，陈熙谋.电磁学上册（第二版）［M］.北京：高等教育出版社，1985：53-61.

［6］蔡伯濂.力学［M］.长沙：湖南教育出版社，1986：152-213.

［7］凌德洪，王海兴，凤孟琨.电学［M］.上海：上海科学技术出版社，1981：4-83.

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”