带电粒子在匀强电磁场中的运动轨迹

大学物理教材中，对带电粒子在电磁场中运动状态的分析，都是针对一些特殊情况进行的，并没有就带电粒子在电磁场中运动的更一般情况进行全面的分析，本文从带电粒子在恒定匀强电磁场中所受到的力出发，用微积分的方法系统地研究其运动的状态，并导出其运动轨迹方程———螺旋线。

一、带电粒子在匀强正交电磁场中运动方程分析

和一般情况相同，设带电粒子所处电磁场的电场和磁场是相互垂直的。

设粒子在电磁场的作用下，t时刻运动至空间中的 p（x，y，z）点，且粒子在该点所具有的速度为：

在此过程中在x轴方向所受到的合外力为： ，则根据动量定理有：

根据如上的参数方程，很显然，带电粒子在互相垂直的匀强电场和匀强磁场中的运动轨迹为螺旋线，轨迹方程为：

二、下面讨论几种特殊情况

根据以上分析得到的结果，在一般情况下，带电粒子在均匀电磁场中的运动可以看成是3个运动的合运动。 其中在z 轴上是一个匀速直线运动；在xy平面上是一个匀速圆周运动和一个沿x轴的匀速直线运动。图2中螺旋曲线是一般情况下带电粒子的运动轨迹。

在一些特殊条件下，带电粒子可能只参与以上3个运动中的一到两个运动，下面我们将分几种不同的情况进行讨论。

如果空间电场和磁场的方向互相平行（ = 0），且带电粒子的x y 平面上的分速度不为零，则粒子的运动可以看成是两个运动的合成，即在z 轴方向的匀加速直线运动和在x y 平面上的匀速圆周运动。 其运动轨迹如图3所示。

1、如果空间电场和磁场的方向互相平行（ =0），且带电粒子在x y 平面上的分速度为零，则粒子只有一个运动， 即沿z 轴方向的匀加速直线运动。

2、如果空间电场和磁场的方向互相垂直（ =0），且带电粒子在z轴上的分速度为零，则粒子的运动可以看成是两个运动的合成，即在x轴方向的匀速直线运动和在xy 平面上的匀圆周运动。

3、如果空间电场和磁场的方向互相垂直（ =0），带电粒子在y轴和z轴上的分速度为零，且在x轴上的分速度为 。则粒子只有一个运动，即沿x 轴方向的匀速直线动。

运动的带电粒子在匀强电磁场中要同时受到电场力和磁场力的作用。

由牛顿第二定律得到其运动基本方程：

通过解微分方程，可求出x，y，z，分析其运动轨迹，这样会解出一般方程（螺旋线）和特殊方程（匀速直线或匀速圆周运动等）。

参考文献：

[1] 贾起民；郑永令；陈暨耀.电磁学.高等教育出版社.

[2] 同济大学应用数学系.高等数学.高等教育出版社.

[3] 梁灿彬.电磁学.高等教育出版社.

[4] 邓明成.新编大学物理学.科学出版社.