从场论角度理解引力场的特性

2022-04-13 08:19:35 | 浏览次数：

摘要：本文将引力场的梯度、散度和旋度与静电场相应的三量进行了对比，从场论的角度对引力场的属性加以描述，加深了对引力场特征的认识。

关键词：场论；引力场；特性

中图分类号：GO314?摇文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2013）30-0176-03

一、前言

对于物体的重量人们非常熟悉，对于其产生的原因通常没有深究，物体与物体之间的万有引力及引力场的属性，人们的认识至今也不够完美、不够彻底，特别是对引力场的理解不如对电磁场的清楚，因为万有引力的特殊性，几乎都从牛顿万有引力定律这一实验定律出发去解释物理现象，对于物体周围的引力场特性的认识很少，本文从场论的视角去观查万有引力场的特性，通过类比的方法认识引力场的梯度、散度和旋度，说明计算结果所具有的物理意义。

二、引力场的描述

根据今天人们对万有引力和库仑力的已有知识，比如万有引力定律Fg=G■，库仑力定律Fc=K■，都是与两者距离的平方成反比的，数学形式高度一致，从而可以采用类比的方法引入引力线来描述引力场，即在引力场中假想存在一类曲线，它们来自无限远，终止于质点上，在空间中任意一点不相交，不会形成闭合曲线，并且这些曲线上每一点的切线方向与该点引力场强度的方向一致。有了引力线的假定后，就可以用它来定义描述场的其他要素：

引力场场强■g：其大小等于单位质量的物体在该点所受到的引力■g=■=-■■°，■°是矢径方向的单位矢量，方向指向施加引力的另一场源物体。用引力线的数密度来描述，在Eg的垂直方向上取一面积元，穿过这一面积元的引力线有条，那么比值ΔN/ΔS就是该点引力线的数密度，即垂直通过某点单位截面上的引力线的条数叫做该点引力线的数密度，也就是引力场场强。

引力通量φ：垂直穿过引力场中某一面积上的引力线的总条数。

三、引力场的旋度

静电场和万有引力场都是矢量场，旋度是矢量场的一种最大空间变化率，是描述矢量场旋性质的矢量，反映矢量场的微分性质，对于静电场和万有引力场只从源方面去研究还是不足以表述其内在性质，仅用旋量这种场积分来表述某一闭合曲线上旋的性质并不能反映场中每一点旋的变化特性。

为了研究场的旋度，要用到方向导数概念，若给定的矢量场■（M）和场中一点M，过M作一单位矢量■，并作以■为法线方向，以l为边界的曲面∑"，其面积为ΔS，闭合曲线l与∑"正向联系，当曲面∑"在M点处的法方向保持不变时，若极限：■■存在，则该极限值为矢量场■在M点处沿给定方向■的旋转量对（曲面）面积的方向变化率（导数，或称为旋转量的面密度），写成■。在空间直角坐标系中，设■，Fx，Fy，Fz在场中任一点M（x，y，z）有一阶连续导数，过M点的矢量■的方向余弦为cosα，cosβ，cosγ，则■有下面的计算公式：

■=■-■cosα+■-■cosβ+■-■cosγ

即■=?塄×■■°，（■°为的单位矢量），根据■的定义，由斯托克斯公式把线积分化为面积分，再参考积分中值公式，即可得：

■=■■■?塄×■■°ds=?塄×■■°

■的计算转为求偏导数，其值决定于给定的点M和过此点的方向。

对于静电场中的一点，由安培环路定理及麦克斯韦方程组可知，rot■=?塄×■=0，对于引力场同样计算得出

rot■=?塄×■=0

说明这两种场都是无旋场。再看看引力所做的功，设质量为m的物体在引力作用下移动，引力的元功为dA=-■=-■■°·■r=■dr，在从较远的r1到较近的r2过程中，引力所作的功为A=■dA=■（-■）dr=GMm（■-■），可见引力做功与路径无关，引力做正功引力势能减小，若把引力势能的零点定在无限远处，则引力势能的表达式为：

A=■dA=■（-■）dr=-■

引力场中一点的引力势可表示为：Ug（r）=■=-■，当然这个结果也可以通过引力场场强积分求出。

四、引力场的散度

在给定矢量场■和场中一点M，在M点周围作一个包围M点在内的任一闭合曲面∑，而∑所围区域?萃的体积为?驻V，若极限：■■（其中ΔV→0，表示?萃以任意方式收缩向点M）存在，则该极限值叫做矢量场■（M）在M点的散度，记作div■（M），引力场中一点的散度表述了引力场强度■的引力通量Φg=■■■·■对于场中点M的空间变化率，也就是引力通量Φg在M点的体密度，是描述场中给定点M处的源的强弱的一个数量。散度div■是由■产生的，而又描述该矢量场源的变化特性的数量场，div■又可以称为■的散度场。引力场强度■=■=-■■°，如果闭合曲面∑（设为半径为r的球面）上引力通量为：

Φg=■■（-■■°）·■=-4πGM

质量M是闭合曲面内部的质量，根据高斯散度定理，

■■■·■=■?塄·■dV，其中∑取外侧，则：div■=■■■?塄·■dV，再应用三重积分中值公式，在区域?萃内总有一点P存在，使得■?塄·■dV=?塄·■dV，当?塄·■dV缩向M点时，div■=■■■·■dV=?塄·■，即：div■=?塄·■=-4πGM，其中ρ是质量体密度，G仍是万有引力常数，引力场散度计算转换为微分运算。

引力场场强在任意一点的散度等于该点质量密度的-4π倍，在没有质量的点散度为零。

五、引力势的梯度

前面根据旋度讨论可知，引力场是无旋有势场，存在引力势Ug（r）=-■，与静电场情况类似，■=-?塄Ug，则：?塄2UR=-4πGρ，这是引力势所满足的泊松方程，当ρ=0时，则?塄2UR=0，转换为拉普拉斯方程，其中引力势UR=UR（M），质量体密度是空间点的数量函数。

求解引力场的问题转化为在给定条件下，求解引力势的泊松方程或拉普拉斯方程的问题，解出引力势UR后，再由■=-?塄Ug，就可以求得场中每一点的引力场强度。

六、结论

从万有引力定律出发，类比静电场的分析方法，对引力场的特性用场论的方式进行了讨论，明确了下列几点：

1.引力场是有源场，所有的质点都伴随引力场，引力线都汇聚指向到质点。

2.引力场是无旋场，是矢量场。

3.引力场是有势场，且引力势满足泊松方程或拉普拉斯方程，通过求解方程就可以求出场中任意一点的引力场强度。

4.由于质点引力场的球对称性，因而计算中采用球坐标系计算比较方便。

5.通过与静电场类比，强烈暗示负质量物质应该存在。

参考文献：