应用数学方法处理物理问题
高中物理课程不仅要求学生有深厚的数学功底，还要求学生有较强的空间立体感和抽象思维能力。物理考试大纲明确要求考生具备“应用数学处理物理问题的能力，能够根据具体问题列出物理量之间的关系式，进行推导和求解，并根据结果得出物理结论，必要时能运用几何图形、函数图像进行表达、分析”。物理解题中常用的数学方法有图像法、微元法、递推归纳法、极限法等。
一、图像法
高中物理学习涉及大量的图像问题，从力学到电学、热学、原子物理学，涵盖面相当广。运用图像的能力要求归纳起来，主要包含以下三点：（1）读图，即从给出的图像中读出有用的信息补足题中的条件解题；（2）用图，即用特定的图像如v-t图、U-I图、P-V图等方便、快捷地解题；（3）作图，通过作辅助图帮助理清物理线索来解题。这三点对学生思维的能力要求层层提高。图像虽然看似复杂，其实，只要抓住斜率、截距、交点、面积这几个要点，即可达到既深入理解图像的物理意义，又方便解题的目的。
实例分析：
例1：如图，一颗子弹以较大的速度v■水平击穿原来静止在光滑水平面上的木块，设木块对子弹的阻力不随速度而变，则当子弹水平速度增大为v′■时，问：
（1）子弹穿过木块的时间如何变化？
（2）木块获得的速度大小如何变化？
【解析】作出子弹和木块的v-t图，为图中的v■a和0b，子弹穿出木块所对应的时间t■，图中梯形v■at■0的面积代表子弹的位移，△0bt■的面积代表木块的位移，则梯形v■ab0的面积代表子弹和木块之间的相对位移。当子弹的速度增加时，因为相互作用力不变，作出的v-t为图中的v■■c和0d，为保证梯形v■■cd0的面积（即子弹和木块之间的相对位移）和梯形v■ab0的面积相等，则必然t■ 二、微元法 微元法是分析、解决物理问题中的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。具体地说微元法就是将研究对象分割成许多微小的单元，或将复杂的物理过程分解为众多微小的“元过程”，而且每个“元过程”都遵循相同的规律，再从研究对象或过程上选取某一微元或某一“元过程”运用必要的数学方法或物理思想加以分析，从而可以化曲为直，使变量、难以确定的量为常量、容易确定的量，使一些复杂的物理过程可以用熟悉的物理规律迅速加以解决。使用此方法求解物理问题能加强我们对已知规律的再思考和再认识，从而提高学科思维能力。 实例分析： 例2：如图所示，两根竖直平行放置的光滑金属导轨相距为L，中间接有一阻值为R的定值电阻，在两导轨间abcd矩形区域内分布有磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直导轨平面向里，宽度为d。一质量为m、电阻为r的导体棒MN垂直搁在导轨上，与磁场上边界相距d■。现使棒MN由静止开始释放，当MN在磁场中运动距离d/2时开始做匀速直线运动，导轨电阻不计，棒下落过程中始终保持水平，并与导轨接触良好。已知重力加速度为g，求： （1）MN在离开磁场下边界时的速度v的大小； （2）棒从进入磁场到匀速运动经历的时间t。 【解析】（1）设MN离开磁场边界前做匀速运动的速度为v，则电动势E=BLv 电路中电流I=■ 对MN，由平衡条件得mg-BIL=0 解得：v=■ （2）设棒刚进入磁场时的速度为v■ 由mgd■=■mv■■ 得v■=■ 设t时刻棒在磁场中的速度为v′（v′ 棒在磁场中运动时受到的合力F■=mg-F 由牛顿第二定律，在t′到t′+Δt时间内 有Δv=■Δt 则∑Δv=∑[g-■v′]Δt 有v=v■+gt-■ 解得：t=■-■+■ 三、递推归纳法 在解决某些比较复杂的具体问题时，常从特殊情况出发，类推出一般情况下的猜想，然后用数学归纳法加以证明，从而确定猜想是正确的。递推归纳法常与等差或等比数列紧密联系。等差、等比数列前n项和公式：S■=■=na■+■d（d为公差），S■=■（q为公比）。 实例分析： 例4：如图甲所示，一个质量m=4kg的小滑块A，在水平力F■=20N作用下，在水平面上沿x轴正方向以v■=5m/s做匀速直线运动，在x≥0区域，存在场力作用区，可对滑块施加竖直向下的作用力F，并通过传感器来控制力的变化。从滑块A进入场力作用区开始，场力的变化如图乙所示，求：（1）滑块和水平面之间的动摩擦因数；（2）滑块在场力作用区域运动的距离。 甲 乙 【解析】（1）滑块最初做匀速运动，由平衡条件可得F■=μmg，解得μ=0.5. （2）当滑块进入场力作用区域后，由于摩擦力增大，因此做减速运动。 在第一个场力作用区域内a■=■ v■■=v■■-2a■L 在第二个场力作用区域内a■=■ v■■=v■■-2a■L 在第三个场力作用区域内a■=■ v■■=v■■-2a■L 在第n个场力作用区域内a■=■ v■■=v■■-2a■L 由以上各式可得v■■=v■■-2■L（1+2+3+…+n） 滑块停下时，v■=0，由上式可知滑块运动在第六个场力作用区域内停下来。 所以，滑块在场力作用区域运动的距离s=5L+x■=■m。
